Тема. Закони руху небесних тіл

Закони Кеплера. Йоганн Кеплер визначив, що Марс рухається навколо Сонця по еліпсу, а потім було доведено, що й інші планети теж мають еліптичні орбіти.

Перший закон Кеплера. Всі планети обертаються навколо Сонця по еліпсах, а Сонце розташоване в одному з фокусів цих еліпсів (рис. 1.1).

Головний наслідок першого закону Кеплера: відстань між планетою та Сонцем не залишається сталою і змінюється в межах:

Рис. 1.1. Планети обертаються навколо Сонця по еліпсах.

Точка А орбіти, де планета наближається на найменшу відстань до Сонця, називається перигелієм (від грец. peri — поблизу, gelios — Сонце), а найвіддаленішу від центра Сонця точку В орбіти планети назвали афелієм (від грец. аро — далі) (рис. 1.3). Сума відстаней у перигелії та афелії дорівнює великій осі АВ еліпса:

Ступінь витягнутості еліпса характеризується ексцентриситетом е — відношенням відстані між фокусами 2с до довжини великої осі 2а, тобто

Земля в перигелії 3-4 січня наближається до Сонця на найменшу відстань — 147 млн км

Земля в афелії 3-4 липня віддаляється від Сонця на найбільшу відстань — 153 млн км

Найбільшу швидкість Земля має взимку: V_max = 30,38 км/с

Найменшу швидкість Земля має влітку: V_min = 29,36 км/с

Орбіта Землі має маленький ексцентриситет е = 0,017 і майже не відрізняється від кола, тому відстань між Землею і Сонцем змінюється в невеликих межах від r_min = 0,983 а. о. в перигелії до r_max = 1,017 а. о. в афелії.

Орбіта Марса має більший ексцентриситет, а саме 0,093, тому відстань між Землею і Марсом під час протистояння може бути різною — від 100 млн км до 56 млн км. Значний ексцентриситет (е = 0,8. 0,99) мають орбіти багатьох астероїдів і комет, а деякі з них перетинають орбіту Землі та інших планет, тому інколи відбуваються космічні катастрофи під час зіткнення цих тіл.

Супутники планет теж рухаються по еліптичних орбітах, причому у фокусі кожної орбіти розміщений центр відповідної планети.

Рис. 1.3. Афелій і перигелій Землі

Другий закон Кеплера. Радіус-вектор планети за однакові проміжки часу описує рівні площі.

Головний наслідок другого закону Кеплера полягає в тому, що під час руху планети по орбіті з часом змінюється не тільки відстань планети від Сонця, а й лінійна та кутова її швидкості.

Найбільшу швидкість планета має в перигелії, коли відстань до Сонця є найменшою, а найменшу швидкість — в афелії, коли відстань є найбільшою.

Другий закон Кеплера фактично визначає відомий фізичний закон збереження енергії: сума кінетичної та потенціальної енергії в замкненій системі є величиною сталою. Кінетична енергія визначається швидкістю планети, а потенціальна — відстанню між планетою та Сонцем, тому при наближенні до Сонця швидкість планети зростає (рис. 1.6).

Рис. 1.6. При наближенні до Сонця швидкість планети зростає, а при віддаленні — зменшується. Якщо відрізки часу t₂ – t₁ = t₄ – t₃ = t₆ – t₅, то площі S_A = S_B = S_C

Якби Земля оберталася навколо Сонця з постійною швидкістю, то кількість днів у цих півріччях була б однаковою. Але, згідно з другим законом Кеплера, взимку швидкість Землі більша, а влітку — менша, тому літо в Північній півкулі триває трохи більше, ніж зима, а у Південній півкулі, навпаки, зима трохи довша за літо.

Третій закон Кеплера. Квадрати сидеричних періодів обертання планет навколо Сонця співвідносяться як куби великих півосей їхніх орбіт.

де Т₁ та Т₂ — сидеричні періоди обертання будь-яких планет;

а₁ та а₂ — великі півосі орбіт цих планет.

Якщо визначити велику піввісь орбіти якоїсь планети чи астероїда, то, згідно з третім законом Кеплера, можна обчислити період обертання цього тіла, не чекаючи, поки воно зробить повний оберт навколо Сонця.

Третій закон Кеплера використовується також і в космонавтиці, якщо треба визначити період обертання навколо Землі супутників, космічних кораблів або обчислити час польоту міжпланетних станцій на інші планети Сонячної системи.

Рис. 1.8. Закон всесвітнього тяжіння

Закон всесвітнього тяжіння. Великий англійський фізик і математик Ісаак Ньютон довів, що фізичною основою законів Кеплера є фундаментальний закон всесвітнього тяжіння, який не тільки зумовлює рух планет у Сонячній системі, а й визначає взаємодію зір у Галактиці. У 1687 р. І. Ньютон сформулював цей закон так: будь-які два тіла з масами М і т притягуються із силою, величина якої пропорційна добутку їхніх мас та обернено пропорційна квадрату відстані між ними (рис. 1.8).

Рис. 1.10. Сила тяжіння, яка діє на космічний корабель, залежить від відстані R + Н між кораблем і центром Землі

де G — гравітаційна стала; R — відстань між цими тілами.

Слід звернути увагу, що формула (1.9) справедлива тільки для двох матеріальних точок. Якщо тіло має сферичну форму і густина всередині розподілена симетрично відносно центра, то масу такого тіла можна вважати за матеріальну точку, яка розміщується в центрі сфери. Наприклад, якщо космічний корабель обертається навколо Землі, то для визначення сили, з якою корабель притягується до Землі, беруть відстань R + Н до центра Землі, а не до поверхні (рис. 1.10).

Телескоп «Кеплер», названий на честь засновника небесної механіки. Апарат використовувя протягом 2009-2018 рр.

Для допитливих

Видатний німецький священик й астроном Йоганн Кеплер, який відкрив ключові закони руху планет, чесно пройшов шлях осяяння.

Протягом усього життя Кеплер вірив, що Сонячна система — витвір мистецтва, сповнений містичних явищ. Він не вважав себе астрономом за покликанням, а навпаки — захоплювався теологією і мріяв стати священиком. Свій інтерес до теорії Коперника спочатку пояснював необхідністю дослідити різні думки щодо світобудови перед тим, як дійти власних висновків.

Зрештою природна допитливість й захоплення астрономією спонукали Кеплера до революційних відкриттів — славнозвісних законів.

В епітафії з приводу смерті видатного вченого було написано: «Я використовував для вимірювань небеса. Тепер я маю виміряти тіні Землі. Попри те, що душа моя на небі, тінь мого тіла лежить тут».

Контрольні запитання

• 1. Сформулюйте перший закон Кеплера. Що розташоване у фокусі орбіт планет? А супутників?
• 2. Дайте визначення перигелію та афелію. Якої швидкості набуває планета, проходячи ці точки орбіти?
• 3. У чому полягає наслідок другого закону Кеплера? У якій півкулі Землі тепла пора року триваліша за холодну?
• 4. Чому третій закон Кеплера є одним із найважливіших для розвитку космонавтики?
• 5. У скільки разів афелійна відстань більша перигелійної відстані, якщо ексцентриситет орбіти дорівнює 0,5?
• 6. Чи змінюється швидкість планети, що рухається по еліптичниій орбіті? коловій орбіті?

Тема для дискусії

Як зміниться клімат Землі, якщо ексцентриситет земної орбіти буде дорівнювати 0,5, а велика піввісь залишиться такою, як зараз? Вважати, що кут нахилу осі обертання до площини екліптики залишиться 66,5°.

Завдання для спостереження

Визначте за допомогою астрономічного календаря, яка планета Сонячної системи розташовується найближче до Землі 10 березня поточного року. У якому сузір’ї її можна побачити сьогодні вночі?

2. Колова швидкість. Рух космічних апаратів по еліптичних орбітах. Період обертання космічного апарата. Друга і третя космічні швидкості

Рис. 2.1. Колова швидкість визначає рух тіла навколо Землі на сталій висоті Н над її поверхнею

Колова швидкість. Розглянемо орбіту супутника, який обертається по коловій орбіті на висоті Н над поверхнею Землі (рис. 2.1). Для того щоб орбіта була сталою і не змінювала свої параметри, повинні виконуватися дві умови:

• 1) вектор швидкості має бути напрямлений по дотичній до орбіти;
• 2) величина лінійної швидкості супутника має дорівнювати коловій швидкості, яка визначається рівнянням:

де — М_⊕ = 6 • 10 24 кг — маса Землі; G = 6,67 • 10-11 (Н • м₂)/кг₂ — стала всесвітнього тяжіння; Н — висота супутника над поверхнею Землі, R_⊕ =6,37 • 10 3 м — радіус Землі.

З формули (2.2) випливає, що найбільше значення колова швидкість має при висоті Н = 0 , тобто у тому випадку, коли супутник рухається біля самої поверхні Землі. Така швидкість у космонавтиці називається першою космічною:

Перша космічна швидкість — V₁ — 7,9 км/с — швидкість, яку треба надати тілу для того, щоб воно оберталось навколо Землі по коловій орбіті, радіус якої дорівнює радіусу Землі

У реальних умовах жодний супутник не може обертатися навколо Землі по коловій орбіті з першою космічною швидкістю, адже густа атмосфера дуже гальмує рух тіл, що рухаються з великою швидкістю. Якби навіть швидкість ракети в атмосфері досягла величини першої космічної, то великий опір повітря розігрів би її поверхню до такої високої температури, що вона б миттєво розплавилася. Тому ракети під час старту з поверхні Землі спочатку піднімаються вертикально вгору до висоти кілька сотень кілометрів, де опір повітря незначний, і тільки тоді супутникові надається відповідна швидкість у горизонтальному напрямку.

Для допитливих

Невагомість під час польоту в космічному кораблі настає в момент, коли припиняють роботу ракетні двигуни. Для того щоб відчути стан невагомості, не обов’язково летіти в космос. Будь-який стрибок у висоту чи довжину, коли зникає опора для ніг, дає нам короткочасне відчуття звичайного стану космічного польоту.

Точка орбіти КА, яка розташована найближче до Землі

Точка орбіти КА, яка розташована найдальше від Землі

Рух космічних апаратів по еліптичних орбітах. Якщо величина швидкості супутника буде відрізнятися від колової або вектор швидкості не буде паралельним площині горизонту, тоді космічний апарат (КА) буде обертатися навколо Землі по еліптичній траєкторії. Згідно з першим законом Кеплера, в одному з фокусів еліпса повинний міститися центр Землі, тому площина орбіти супутника має перетинати площину екватора або збігатися з нею (рис. 2.4). У цьому випадку висота супутника над поверхнею Землі змінюється в межах від перигею до апогею. Ці назви аналогічні відповідним точкам на орбітах планет — перигелію та афелію.

Якщо супутник рухається по еліптичній траєкторії, то, згідно з другим законом Кеплера, змінюється його швидкість: найбільшу швидкість супутник має в перигеї, а найменшу — в апогеї.

Рис. 2.4. Рух супутника по еліптичній траєкторії схожий на обертання планет у зоні тяжіння Сонця. Зміна швидкості визначається законом збереження енергії: сума кінетичної та потенціальної енергії тіла під час руху по орбіті залишається сталою

Період обертання космічного апарата. Період обертання космічного апарата, який рухається навколо Землі по еліпсу зі змінною швидкістю, можна визначити за допомогою третього закону Кеплера:

де T_c — період обертання супутника навколо Землі; T_M = 27,3 доби — сидеричний період обертання Місяця навколо Землі; a_C — велика піввісь орбіти супутника; a_M =380000 км — велика піввісь орбіти Місяця. З рівняння (2.5) визначимо:

У космонавтиці особливу роль відіграють ШСЗ, які «висять» над однією точкою Землі. Такі супутники називають геостаціонарними, їх використовують для космічного зв’язку (рис. 2.5).

Для допитливих

Для забезпечення глобального зв’язку достатньо вивести на геостаціонарну орбіту три супутники, які мають «висіти» у вершинах правильного трикутника. Зараз на таких орбітах розташовані вже кілька десятків комерційних супутників різних країн, які забезпечують ретрансляцію телевізійних програм, мобільний телефонний зв’язок, комп’ютерну мережу Інтернет. Супутники зв’язку виводять на геостаціонарні орбіти також українські ракети «Зеніт» і «Дніпро».

Друга і третя космічні швидкості. Друга і третя космічні швидкості визначають умови відповідно для міжпланетних і міжзоряних перельотів.

Якщо порівняти другу космічну швидкість V₂ з першою V₁ (2.3), то отримаємо співвідношення:

Космічний корабель, який стартує з поверхні Землі з другою космічною швидкістю і рухається по параболічній траєкторії, міг би полетіти до зір, адже парабола є незамкненою кривою, яка прямує до нескінченності. Але в реальних умовах такий корабель не покине Сонячну систему, оскільки будь-яке тіло, що вийшло за межі земного тяжіння, потрапляє в гравітаційне поле Сонця. Тобто космічний корабель стане супутником Сонця і обертатиметься в Сонячній системі подібно до планет чи астероїдів.

Рис. 2.7. Геостаціонарний супутник обертається на висоті 35600 км тільки по коловій орбіті в площині екватора з періодом 24 год (N — Північний полюс)

Друга космічна швидкість — V₂ = √2V₁ = 11,2 км/с, тобто найменша швидкість, при якій тіло покидає сферу тяжіння Землі й може стати супутником Сонця

Третя космічна швидкість — мінімальна швидкість, коли ракета при старті з поверхні Землі може покинути сферу тяжіння Сонця й полетіти в галактичний простір

Для польоту за межі Сонячної системи космічному кораблеві треба надати третю космічну швидкість V₃ =16,7 км/с. На жаль, потужність сучасних реактивних двигунів ще недостатня для польоту до зір при старті безпосередньо з поверхні Землі. Але, якщо КА пролітає через гравітаційне поле іншої планети, він може отримати додаткову енергію, яка дозволяє в наш час робити міжзоряні польоти. У США уже запустили кілька таких АМС («Піонер-10,11» та «Вояджер-1,2»), які в гравітаційному полі планет-гігантів збільшили свою швидкість настільки, що в майбутньому вилетять за межі Сонячної системи.

Для допитливих

Політ на Місяць відбувається в гравітаційному полі Землі, тому КА летить по еліпсу, у фокусі якого буде центр Землі. Найвигідніша траєкторія польоту з мінімальною витратою пального — це еліпс, який є дотичним до орбіти Місяця.

Під час міжпланетних польотів, наприклад на Марс, КА летить по еліпсу, у фокусі якого перебуває Сонце. Найвигідніша траєкторія з найменшою витратою енергії пролягає по еліпсу, який є дотичним до орбіт Землі й Марса. Точки старту та прильоту лежать на одній прямій по різні боки від Сонця. Такий політ в один бік триває понад 8 місяців. Космонавтам, які в недалекому майбутньому відвідають Марс, треба врахувати ще й те, що одразу ж повернутися на Землю вони не зможуть. Справа в тому, що Земля по орбіті рухається швидше, ніж Марс, і через 8 місяців його випередить. Для повернення космонавтам треба чекати на Марсі ще 8 місяців, поки Земля займе вигідне положення. Тобто загальна тривалість експедиції на Марс буде не менш ніж 2 роки.

Марсохід «Спіріт», який провів на поверхні планети 2000 діб

Контрольні запитання

• 1. Чому жодний супутник не може обертатися навколо Землі по коловій орбіті з першою космічною швидкістю?
• 2. Чому під час старту космічного корабля виникає перевантаження?
• 3. Чи виконується у невагомості закон Архімеда?
• 4. Космічний корабель обертається навколо Землі по коловій орбіті на висоті 200 км. Визначте лінійну швидкість корабля.
• 5. Чи може космічний корабель зробити за добу 24 оберти навколо Землі?

Фундатор вітчизняної планетології

Микола Павлович Барабашов (1894—1971) — видатний український астроном, академік АН УРСР. Народився в Харкові в родині професора офтальмології. У 1912 р. закінчив Харківську гімназію №1 і вступив на перший курс фізико-математичного факультету Юріївського (нині Тартуського, Естонія) університету. З 1914 до 1919 р. майбутній учений навчався на фізико-математичному факультеті Харківського університету, а після закінчення був залишений на кафедрі астрономії. Професорське звання Микола Павлович отримав 1934 р., а ще за два роки йому був присвоєний вчений ступінь доктора фізико-математичних наук без захисту дисертації (за сукупністю робіт).

Протягом багатьох років наукової діяльності вчений став автором близько 600 друкованих праць. Цікаво, що перші дослідження щодо спостережень сонячних плям, Венери й Марса Микола опублікував ще в 15 років. Наукова праця підлітка тоді була прийнята французьким журналом «Астрономія».

Серед відомих досягнень академіка — вагомі відкриття щодо вивчення планет Сонячної системи. Барабашов вивчав поверхню Марса, відкрив «полярні шапки» й кристали льоду в атмосфері Венери, досліджував Сатурн і Юпітер, а також сонячну корону. До речі, саме Микола Павлович спільно з конструктором й оптиком М. Г. Пономарьовим сконструював перший радянський спектрогеліоскоп (пристрій для візуального спостереження Сонця).

І хоча зарубіжні вчені розробляли аналогічні наукові проблеми, результати харківських астрономів часто виявлялися більш точними. Усі ці дослідження стали фундаментом наукової школи планетології, яка й понині успішно розвивається та відома далеко за межами України.

Микола Павлович багато займався викладацькою діяльністю, став засновником Харківського планетарію й одним із авторів першого «Атласу зворотнього боку Місяця».

Пам’ять про академіка увічнена у названих його ім’ям кратеру на Марсі і малої планети №2883 — Барабаш. А від 1992 р. НАН України запровадила премію імені М. П. Барабашова за праці в галузі фізики планет, зір і галактик.

Зоряний шлях крізь тернії

Сесилія Гелена Пейн-Гапошкіна (1900—1979) — відома американська астрономка і перша жінка, яка отримала звання професорки й очолювала кафедру в Гарвардському університеті.

Народилася у Великій Британії в родині історика, викладача Університетського коледжу при Оксфордському університеті. Захоплення астрономією у дівчини виникло у 19 років, коли вона відвідала лекцію професора астрономії Еддінгтона. У 1923 р. Сесилія з відзнакою закінчила Кембридж, але виявилося, що у ньому в ті часи жінкам не видавали дипломи.

Прагнучи продовжувати астрономічну освіту й наукову діяльність, Сесилія переїхала до США й влаштувалася на роботу в обсерваторію Гарвардського університету.

У 1925 р. талановита вчена написала книгу, що мала б приголомшити наукову спільноту. У ній Сесилія Пейн доводила: зорі складаються не з металів (як вважалося на той час), а з водню й гелію. Проте здивувати цією працею світ не судилося. Досвідчений астрофізик Генрі Норріс Рассел запевнив дівчину, що її відкриття суперечать існуючим теоріям, і відмовив представляти книгу загалу. Цікаво, що за чотири роки він видав власну працю, у якій можна було впізнати сміливі ідеї Сесилії, й увійшов в історію як засновник однієї з перших теорій еволюції зір. Книга Сесилії Пейн згодом усе ж таки була надрукована, але невеликим накладом, і за неї вчена отримала науковий ступінь від коледжу Редкліффа.

Сесилія продовжила розробляти проблематику зір-гігантів. Для другої книги вона опрацювала стільки даних, що її праця стала фактично енциклопедією з астрофізики. Чимало наступних наукових досягнень в галузі еволюції Всесвіту науковиця зробила разом із чоловіком — Сергієм Гапошкіним. Подружжя отримало багато почесних нагород.

На честь Сесилії Гелени Пейн-Гапошкіної названий відкритий 1974 р. астероїд «2039 Пейн-Гапошкін».

3. Видимий рух Сонця. Видимі рухи Місяця та планет

Сузір’я Лева і Великий Сфінкс

Видимий рух Сонця. Зміна пір року на Землі. Окрім добового руху Сонця по небу, ми також спостерігаємо його річний рух уздовж екліптики. Її площина збігається з площиною орбіти Землі. Рухаючись разом із Землею по орбіті, ми протягом року спостерігаємо Сонце на тлі одного з дванадцяти сузір’їв, розташованих на лінії екліптики. Ці сузір’я називають зодіакальними. Наприклад, у червні Сонце рухається по сузір’ю Близнят, у вересні — Діви, у грудні — Стрільця та ін.

Якщо стежити за Сонцем протягом року, то виявиться, що його рух по екліптиці не є рівномірним (3.1).

Початок відліку спостережуваного руху Сонця припадає на день весняного рівнодення — 21 березня, коли наше Світило перебуває в точці весняного рівнодення ♈. Переміщуючись по екліптиці, 22 червня Сонце проходить точку літнього сонцестояння — ♋, коли тривалість світлового дня в Північній півкулі є максимальною. Потім, 22 вересня, Сонце перетинає точку осіннього рівнодення ♎. Точку зимового сонцестояння ♑ Сонце проходить 22 грудня, коли тривалість світлового дня є мінімальною.

Зодіакальні сузір’я й час перебування у них Сонця

♈ — Овен: 21 березня — 19 квітня. ♉ — Телець: 20 квітня — 20 травня. ♊ — Близнята: 21 травня — 20 червня. ♋ — Рак: 21 червня — 22 липня. ♌ — Лев: 23 липня — 21 серпня. ♍ — Діва: 22 серпня — 21 вересня. ♎ — Терези: 22 вересня — 22 жовтня. ♏ — Скорпіон: 23 жовтня — 21 листопада. ♐ — Стрілець: 22 листопада — 20 грудня. ♑ — Козоріг: 21 грудня — 19 січня. ♒ — Водолій: 20 січня — 18 лютого. ♓ — Риби: 19 лютого — 20 березня.

Рис. 3.1. Рух Сонця по екліптиці

Рис. 3.2. Кут між площинами екватора та екліптики 23,5°, а кут між площиною екліптики та полюсом світу 66,5°. Це є причиною зміни пір року на Землі

Для допитливих

Протягом періоду з 21 березня до 22 вересня Сонце долає половину свого річного шляху, тобто 180° екліптичного кола за 186 діб. На другу половину припадає 179 діб. Тобто навесні та влітку рух Сонця відбувається повільніше, ніж восени й узимку.

Найшвидший рух нашого Світила спостерігається протягом 1-5 січня (1,017° на добу), а найповільніший — протягом 1-5 липня (0,95° на добу).

Вісь обертання Землі нахилена до площини орбіти під кутом 66,5°, і це призводить до зміни пір року на Землі (рис. 3.2). Якби вісь обертання Землі була перпендикулярною до площини орбіти, то зміна пір року не відбувалася б, адже Сонце протягом року освітлювало б рівномірно Північну та Південну півкулі нашої планети. Дні, коли Сонце однаково освітлює дві півкулі Землі, настають тільки двічі на рік — навесні 20-21 березня і восени 22-23 вересня, коли на всіх материках однакова тривалість дня — 12 годин.

В інші місяці тривалість дня більша або менша за 12 годин і залежить від географічної широти місця спостереження. Найдовший день у Північній півкулі настає 21-22 червня — початок астрономічного літа, а у Південній півкулі в цей день починається астрономічна зима. Через півроку 21-22 грудня, навпаки, у Північній півкулі настає астрономічна зима, а в Південній — літо (рис. 3.3).

На широті 50° (Київ, Львів, Харків) тривалість найдовшого дня 22 червня — 16 год 20 хв — у два рази більша за тривалість найкоротшого дня 22 грудня — 8 год.

Видимі рухи Місяця та планет. Конфігурації планет. Місяць — природний супутник Землі й найближче до неї небесне тіло. Він рухається навколо нашої планети по еліптичній орбіті у той самий бік, у який Земля обертається навколо своєї осі.

Напрямок руху Місяця — із заходу на схід. Повний оберт по орбіті навколо планети (сидеричний місяць) Місяць здійснює за 27,3 доби. Цікаво, що саме за цей час він здійснює один оберт навколо свої осі. Отже, із Землі ми завжди бачимо лише одну півкулю Місяця, освітлення якої постійно змінюється, проходячи повний цикл фаз.

Конфігураціями планет називають характерні взаємні положення планет відносно Землі і Сонця

Протистояння — планету видно із Землі цілу ніч у протилежному від Сонця напрямку

Елонгація — видима з поверхні Землі кутова відстань між планетою і Сонцем

Рис. 3.3. Освітлення Землі сонячними променями взимку і влітку. Найбільше енергії від Сонця отримує тропічна зона, де опівдні сонячні промені можуть падати перпендикулярно до горизонту. Широта тропіків ±23,5°

Рис. 3.4. Зміна фаз Місяця

2. Зростаючий серп (молодик).

Фази Місяця, тобто зміна його зовнішнього вигляду, настають унаслідок того, що Місяць світиться відбитими сонячними променями. Обертаючись навколо нашої планети, він займає різні положення відносно Землі та Сонця, тому ми бачимо різні частини його денної півкулі.

Щоб зрозуміти, чому ми бачимо фази Місяця, почнемо з нового Місяця, який із поверхні Землі майже ніколи не видний, адже до нас повернена його нічна півкуля (рис. 3.4). Перша чверть настає за тиждень, у цей час до Землі повернені половина денного та половина нічного боку Місяця. Повня настає у той момент, коли Місяць розташований з протилежного боку від Сонця. Остання чверть (або старий Місяць) спостерігається у південно-східній частині небосхилу перед світанком. Від одного молодика до наступного проходить 29,5 земних діб. Цей період місячних фаз називають синодичним місяцем.

Конфігурація планет. Усі планети світяться відбитим сонячним промінням, тому краще видно ту планету, яка розташована ближче до Землі, за умови, якщо до нас повернена її денна, освітлена Сонцем півкуля. На рис. 4.5 зображено протистояння Марса (M₁), тобто таку конфігурацію, коли Земля буде перебувати на одній прямій між Марсом і Сонцем. У протистоянні яскравість планети найбільша, тому що до Землі повернена вся її денна півкуля.

Орбіти двох планет, Меркурія і Венери, розташовані ближче до Сонця, ніж Земля, тому в протистоянні вони не бувають. У положенні, коли Венера чи Меркурій перебувають найближче до Землі, їх не видно, тому що до нас повернена нічна півкуля планети (рис. 3.5). Така конфігурація називається нижнім сполученням із Сонцем. У верхньому сполученні планету теж не видно, адже між нею і Землею розташовується яскраве Сонце.

Найкращі умови для спостереження Венери і Меркурія бувають у конфігураціях, які називаються східною та західною елонгаціями. Східна елонгація — це момент положення, коли планету видно ліворуч від Сонця ввечері (В₁). Західна елонгація Венери спостерігається вранці, коли планету видно праворуч від Сонця у східній частині небосхилу (В₂).

Рис. 4.5. Конфігурації Венери і Марса. Протистояння Марса: планета перебуває найближче до Землі, її видно всю ніч у протилежному від Сонця напрямку. Венеру найкраще видно ввечері у східну елонгацію ліворуч від Сонця (В₁) та вранці під час західної елонгації праворуч від Сонця (В₂)

Сидеричний і синодичний періоди обертання планет. Сидеричний період обертання визначає рух тіл відносно зір. Це проміжок часу, упродовж якого планета, рухаючись по орбіті, робить повний оберт навколо Сонця (рис. 3.6). Синодичний період обертання визначає рух тіл відносно Землі і Сонця. Це проміжок часу, упродовж якого спостерігаються одні й ті самі послідовні конфігурації планет (протистояння, сполучення, елонгації).

Рис. 3.6. Шлях, що відповідає сидеричному періоду обертання Марса навколо Сонця, зображено пунктиром синього кольору, синодичному — пунктиром червоного кольору.

Положення С—3₁—M₁ та С—3₂—М₂ — два послідовних протистояння Марса

Для допитливих

З усіх астрономічних явищ, напевне, найбільшу увагу людей привертає затемнення Сонця, яке настає у той момент, коли тінь від Місяця досягає поверхні Землі. Хоча Місяць через кожні 29,5 доби перебуває між Сонцем і Землею (фаза — новий Місяць), але затемнення відбуваються набагато рідше, адже площина орбіти Місяця нахилена до екліптики під кутом 5°. На орбіті існують дві точки, у яких Місяць перетинає площину екліптики, — вони називаються вузлами місячної орбіти. Затемнення Місяця або Сонця можуть відбутися тільки в тому випадку, коли Місяць перебуває поблизу вузла орбіти. Вузли місячної орбіти зміщуються у космічному просторі, тому затемнення відбуваються в різні пори року. Період повторення затемнень, або сарос, знали ще єгипетські жерці 4000 років тому. Сучасні обчислення дають таке значення саросу: Г_сар = 6585,33 доби = 18 років 11 діб 8 год. Протягом одного саросу в різних місцях на поверхні Землі відбуваються 43 затемнення Сонця та 25-29 затемнень Місяця, причому сонячні й місячні затемнення завжди відбуваються парами з інтервалом 2 тижні.

Контрольні запитання

• 1. Чим можна пояснити нерівномірність видимого руху Сонця по екліптиці?
• 2. За яких умов на Землі не відбувалося б зміни пір року?
• 3. Що розуміють під конфігураціями планет? Опишіть їх.
• 4. Дайте визначення синодичному і сидеричному періодам обертання планети. У чому полягають їх відмінності?
• 5. Якою має бути тривалість сидеричного та синодичного періодів обертання планети у випадку їх рівності?
• 6. Чому з поверхні Землі завжди видна лише одна півкуля Місяця? Опишіть особливості руху супутника нашої планети та послідовність фаз.

4. Визначення маси і розмірів небесних тіл

Найважливішою характеристикою небесного тіла є його маса, яку можна обчислити шляхом вимірювання сили тяжіння на його поверхні (гравіметричний спосіб). Закон всесвітнього тяжіння дозволяє обчислити масу Землі та інших небесних тіл (рис. 4.1).

На тіло масою m, яке розташоване поблизу поверхні Землі, діє сила тяжіння F = mg, де g — прискорення вільного падіння. Якщо тіло рухається лише під дією сили тяжіння, то застосовують закон всесвітнього тяжіння. Прискорення вільного падіння, спрямоване до центру Землі, обчислюють за формулою:

Рис. 4.1. Визначення розмірів небесних тіл

Отже, знаючи, що прискорення вільного падіння g = 9,81 м/с 2 , G = 6,673 • 10 -11 Н • м 2 /кг 2 и радіус Землі R_⊕ = 6370 км, можна за формулою (4.3) обчислити масу Землі (4.4).

Дізнайтеся, як можна обчислити масу небесних тіл за третім узагальненим законом Кеплера.

Щоб визначити лінійний розмір небесного тіла, потрібно виміряти кут, під яким ми бачимо його радіус, і знати відстань до нього. На рис. 4.1 спостерігач із центру Т Землі може бачити лише лінійний радіус R тіла під кутом р.

Відстань від центра Землі до центра небесного тіла позначимо літерою D. Тоді: R = D • sin(p).

Якщо D виразити в радіусах Землі, то й R ми знайдемо в радіусах Землі. Якщо D виразити в кілометрах, то R вийде в кілометрах.

Наприклад, відстань до Місяця D дорівнює 60 земним радіусам, а радіус Місяця ми бачимо під кутом 16′. Для Місяця R = 60 • sin(16′) = = 0,27 радіуса Землі.

Підводячи підсумки, можна сказати, що результати наведених обчислювань доводять відсутність принципових відмінностей між Землею і небесними тілами.

Для допитливих

В астрофізиці одиницею для вираження й порівняння мас зір та інших астрономічних об’єктів (зокрема галактик) є маса Сонця. Вона позначається через M_ʘ і дорівнює масі Сонця: M_ʘ = = (1,98847 ± ± 0,00007) • 10 30 кг.

Сонячна маса перевищує масу Землі майже в 332 946 разів. Близько 99,86% маси Сонячної системи припадає саме на Сонце, а загальна маса усіх планет становить лише 0,0013 M_ʘ, причому більша частина сумарної маси планет належить Юпітеру (його маса у 1047,56 разів менша за сонячну).

Маса більшості окремих зір у Всесвіті складає від 0,08 до 50 M_ʘ, а маса чорних дір і цілих галактик може сягати мільйонів і мільярдів мас нашого світила.

Земля на тлі Сонця

Контрольні запитання

• 1. Який закон допомагає обчислити масу небесного тіла? Назвіть його формулу.
• 2. Якими даними необхідно скористатися, щоб визначити розмір небесного тіла? У чому його можна виразити?

§ 4. Закони руху планет

• спробуємо збагнути суть закону всесвітнього тяжіння, що керує рухом усіх космічних тіл — від планет до галактик.

1. Конфігурації планет

Усі планети світяться відбитим сонячним промінням, тому краще видно ту планету, яка розташована ближче до Землі, за умови, якщо до нас повернена її денна, освітлена Сонцем півкуля.

На рис. 4.1 зображено протистояння (ПС) Марса (M₁), тобто таку конфігурацію, коли Земля буде перебувати на одній прямій між Марсом і Сонцем. У протистоянні яскравість планети найбільша, тому що до Землі повернена вся її денна півкуля.

Орбіти двох планет, Меркурія і Венери, розташовані ближче до Сонця, ніж Земля, тому в протистоянні вони не бувають. У положенні, коли Венера чи Меркурій перебувають найближче до Землі, їх не видно, бо до нас повернена нічна півкуля планети (рис. 4.1). Така конфігурація називається нижнім сполученням із Сонцем. У верхньому сполученні планету теж не видно, бо між нею і Землею розташовується яскраве Сонце.

Конфігураціями планет називають характерні взаємні положення планет відносно Землі й Сонця

Рис. 4.1. Конфігурації Венери і Марса. Протистояння Марса — планета перебуває найближче до Землі, її видно всю ніч у протилежному від Сонця напрямку. Венеру найкраще видно ввечері у східну елонгацію ліворуч від Сонця В₁, та вранці під час західної елонгації праворуч від Сонця В₂

Протистояння — планету видно із Землі цілу ніч у протилежному від Сонця напрямку

Елонгація — видима з поверхні Землі кутова відстань між планетою і Сонцем

Найкращі умови для спостереження Венери і Меркурія бувають у конфігураціях, які називаються елонгаціями. Східна елонгація (СЕ) — це момент положення, коли планету видно ліворуч від Сонця ввечері В₁. Західна елонгація (ЗЕ) Венери спостерігається вранці, коли планету видно праворуч від Сонця у східній частині небосхилу В₂. Конфігурації яскравих планет наведено у таблиці.

Конфігурації яскравих планет

Умовні позначення: ПС — протистояння, планету видно цілу ніч; Сп — сполучення із Сонцем, планету не видно; СЕ — східна елонгація, планету видно ввечері в західній частині обрію; ЗЕ — західна елонгація, планету видно вранці у східній частині небосхилу.

Увага! Вранці 6 червня 2012 року відбудеться проходження Венери по диску Сонця, коли планета в нижньому сполученні перетинає площину екліптики. Наступне проходження треба чекати до грудня 2117 року.

2. Сидеричний і синодичний періоди обертання планет

Сидеричний період обертання визначає рух тіл відносно зір. Це час, протягом якого планета, рухаючись по орбіті, робить повний оберт навколо Сонця (рис. 4.2).

Синодичний період обертання визначає рух тіл відносно Землі і Сонця. Це проміжок часу, через який спостерігаються одні й ті самі послідовні конфігурації планет (протистояння, сполучення, елонгації).

Рис. 4.2. Шлях, що відповідає сидеричному періоду обертання Марса навколо Сонця, зображено пунктиром синього кольору, синодичному — пунктиром червоного кольору.

На рис. 4.2 положення С—З₁—М₁ та С—З₂—М₂ — два послідовних протистояння Марса.

Між синодичним S та сидеричним Т періодами обертання планети існує таке співвідношення:

У формулі (4.1) знак «+» застосовується для Венери і Меркурія, які обертаються навколо Сонця швидше, ніж Земля. Для інших планет застосовується знак «-».

3. Закони Кеплера

Йоганн Кеплер (рис. 4.3) визначив, що Марс рухається навколо Сонця по еліпсу, а потім було доведено, що й інші планети теж мають еліптичні орбіти.

Перший закон Кеплера. Всі планети обертаються навколо Сонця по еліпсах, а Сонце розташоване в одному з фокусів цих еліпсів (рис. 4.4, 4.5).

Рис. 4.3. Й. Кеплер (1571—1630)

Головний наслідок із першого закону Кеплера: відстань між планетою та Сонцем не залишається сталою і змінюється в межах: r_max ≤ r ≥ r_min.

Точка А орбіти, де планета наближається на найменшу відстань до Сонця, називається перигелієм (від грец. peri — поблизу, relios — Сонце), а найвіддаленішу від центра Сонця точку В орбіти планети назвали афелієм (від грец. аро — далі). Сума відстаней у перигелії та афелії дорівнює великій осі АВ еліпса: r_max + r_min = 2α. Велика піввісь земної орбіти (ОА або ОВ) називається астрономічною одиницею. 1 а. о. = 149,6 • 10 6 км.

Рис. 4.4. Планети обертаються навколо Сонця по еліпсах.

AF₁ = r_min — у перигелії;

BF₁ = r_max — в афелії

Земля в перигелії 3—4 січня наближається до Сонця на найменшу відстань — 147 млн км

Земля в афелії 3—4 липня віддаляється від Сонця на найбільшу відстань — 153 млн км

Орбіта Землі має маленький ексцентриситет е = 0,017 і майже не відрізняється від кола, тому відстань між Землею та Сонцем змінюється в невеликих межах від r_min =0,983 а. о. в перигелії до r max =1,017 а. о. в афелії.

Орбіта Марса має більший ексцентриситет, а саме 0,093, тому відстань між Землею та Марсом під час протистояння може бути різною — від 100 млн км до 56 млн км. Значний ексцентриситет (e = 0,8. 0,99) мають орбіти багатьох астероїдів і комет, а деякі з них перетинають орбіту Землі та інших планет, тому інколи відбуваються космічні катастрофи під час зіткнення цих тіл.

Супутники планет теж рухаються по еліптичних орбітах, причому у фокусі кожної орбіти розміщений центр відповідної планети.

Рис. 4.5. Як правильно нарисувати еліпс

Другий закон Кеплера. Радіус-вектор планети за однакові проміжки часу описує рівні площі.

Найбільшу швидкість Земля має взимку:

Найменшу швидкість Земля має влітку:

Головний наслідок другого закону Кеплера полягає в тому, що під час руху планети по орбіті з часом змінюється не тільки відстань планети від Сонця, але і її лінійна та кутова швидкості.

Найбільшу швидкість планета має в перигелії, коли відстань до Сонця є найменшою, а найменшу швидкість — в афелії, коли відстань є найбільшою.

Другий закон Кеплера фактично визначає відомий фізичний закон збереження енергії: сума кінетичної та потенціальної енергії в замкненій системі є величиною сталою. Кінетична енергія визначається швидкістю планети, а потенціальна — відстанню між планетою та Сонцем, тому при наближенні до Сонця швидкість планети зростає (рис. 4.6).

Якщо перший закон Кеплера перевірити в умовах школи досить важко, бо для цього треба виміряти відстань від Землі до Сонця взимку та влітку, то другий закон Кеплера може перевірити кожний учень. Для цього треба переконатися, що швидкість Землі протягом року змінюється. Для перевірки можна використати звичайний календар і порахувати тривалість півріччя від весняного до осіннього рівнодення (21.03—23.09) та, навпаки, від 23.09 до 21.03. Якби Земля оберталася навколо Сонця з постійною швидкістю, то кількість днів у цих півріччях була б однакова. Але, згідно з другим законом Кеплера, взимку швидкість Землі більша, а влітку — менша, тому літо в Північній півкулі триває трохи більше, ніж зима, а у Південній півкулі, навпаки, зима трохи довша за літо.

Рис. 4.6. При наближенні до Сонця швидкість планети зростає, а при віддаленні — зменшується. Якщо відрізки часу t₂-t₁=t₄-t₃=t₆-t₅, то площі S_A=S_B=S_C

У липні Земля рухається повільніше, тому тривалість літа в Північній півкулі більша, ніж у Південній. Цим пояснюється, що середньорічна температура Північної півкулі Землі вища, ніж Південної

Третій закон Кеплера. Квадрати сидеричних періодів обертання планет навколо Сонця відносяться як куби великих півосей їхніх орбіт.

де T₁ та T₂ — сидеричні періоди обертання будь-яких планет; α₁ та α₂ — великі півосі орбіт цих планет.

Якщо визначити велику піввісь орбіти якоїсь планети чи астероїда, то, згідно з третім законом Кеплера, можна обчислити період обертання цього тіла, не чекаючи, поки воно зробить повний оберт навколо Сонця. Наприклад, у 1930 р. було відкрито нову планету Сонячної системи — Плутон, яка має велику піввісь орбіти 40 а. о., і відразу ж було визначено період обертання цієї планети навколо Сонця — 248 років. Правда, у 2006 р., згідно з постановою з’їзду Міжнародного Астрономічного Союзу, Плутон перевели в статус планет-карликів, бо його орбіта перетинає орбіту Нептуна. Третій закон Кеплера використовується також і в космонавтиці, якщо треба визначити період обертання навколо Землі супутників, космічних кораблів або обчислити час польоту міжпланетних станцій на інші планети Сонячної системи (див. §5).

Рис. 4.7. Із спостережень була визначена велика піввісь орбіти Плутона α₂=40 а. о. Враховуючи параметри орбіти Землі α₁, T₁, згідно з (4.2), маємо T₂=248 р.

4. Закон всесвітнього тяжіння

Великий англійський фізик і математик Ісаак Ньютон довів, що фізичною основою законів Кеплера є фундаментальний закон всесвітнього тяжіння, який не тільки зумовлює рух планет у Сонячній системі, але й визначає взаємодію зір у Галактиці. У 1687 р. І. Ньютон сформулював цей закон так: будь-які два тіла з масами М і т притягуються із силою, величина якої пропорційна добуткові їхніх мас, та обернено пропорційна квадрату відстані між ними (рис. 4.8):

де G — гравітаційна стала; R — відстань між цими тілами.

Рис. 4.8. Закон всесвітнього тяжіння

Слід звернути увагу, що формула (4.3) справедлива тільки для двох матеріальних точок. Якщо тіло має сферичну форму і густина всередині розподілена симетрично відносно центра, то масу такого тіла можна вважати за матеріальну точку, яка розміщується в центрі сфери. Наприклад, якщо космічний корабель обертається навколо Землі, то для визначення сили, з якою корабель притягується до Землі, беруть відстань R+H до центра Землі, а не до поверхні (рис. 4.9).

За допомогою формули (4.3) можна визначити вагу космонавтів на будь-якій планеті, якщо відомий її радіус R і маса М (рис. 4.10). Закон всесвітнього тяжіння стверджує, що не тільки планета притягується до Сонця, але й Сонце притягується з такою самою силою до планети, тому рух двох тіл у гравітаційному полі відбувається навколо спільного центра мас даної системи. Тобто планета не падає на Сонце, бо вона рухається з певною швидкістю по орбіті, а Сонце не падає на планету під дією тієї ж сили тяжіння, бо воно теж обертається навколо спільного центра мас.

Рис. 4.9. Сила тяжіння, яка діє на космічний корабель, залежить від відстані R+H між кораблем і центром Землі

Рис. 4.10. Вага космонавтів залежить від маси планети та її радіуса. На астероїдах космонавти повинні прив’язуватися, щоб не полетіти в космічний простір

У реальних умовах жодна планета не рухається по еліптичній траєкторії, бо закони Кеплера справедливі тільки для двох тіл, які обертаються навколо спільного центра мас. Відомо, що у Сонячній системі обертаються навколо Сонця великі планети та безліч малих тіл, тому кожну планету притягує не тільки Сонце — одночасно притягаються між собою всі ці тіла. У результаті такої взаємодії різних за величиною і напрямком сил рух кожної планети стає досить складним. Такий рух називають збуреним. Орбіта, по якій рухається при збуреному русі планета, не буде еліпсом.

Завдяки дослідженням збурення орбіти планети Уран астрономи теоретично завбачили існування невідомої планети, яку у 1846 р. виявив Й. Галле у розрахованому місці, та назвали Нептуном.

Для допитливих

Особливість закону всесвітнього тяжіння полягає в тому, що ми не знаємо, яким чином передається на величезній відстані притягання між тілами. Від часу відкриття цього закону вчені висували десятки гіпотез щодо суті гравітаційної взаємодії, але наші знання сьогодні не набагато більші, ніж за часів Ньютона. Правда, фізики відкрили ще три дивовижні взаємодії між матеріальними тілами, які передаються на відстані: електромагнітна взаємодія, сильна та слабка взаємодії між елементарними частинками в атомному ядрі. Серед цих чотирьох різновидів взаємодії гравітаційні сили є найслабкішими. Наприклад, у порівнянні з електромагнітними силами гравітаційне притягання в 10 39 разів слабше, але тільки гравітація керує рухом планет, а також впливає на еволюцію цілого Всесвіту. Це можна пояснити тим, що електричні заряди мають різний знак (+ та -), тому великі за масою тіла є в основному нейтральними, і на великій відстані електромагнітна взаємодія між ними досить слабка.

5. Визначення відстаней до планет

Для вимірювання відстаней до планет в астрономічних одиницях можна використати третій закон Кеплера, але для цього треба визначити геометричним методом відстань від Землі до будь-якої планети. Припустімо, що потрібно виміряти відстань L

який називають горизонтальним паралаксом світила, бо одна сторона прямокутного трикутника — катет AS, є горизонтом для точки А (рис. 4.11). Горизонтальний паралакс (від грец.— зміщення) світила — це кут, під яким було б видно перпендикулярний до променя зору радіус Землі, якби сам спостерігач перебував на цьому світилі. З прямокутного трикутника OAS визначаємо гіпотенузу OS:

Правда, при визначенні паралаксу виникає проблема: як астрономи можуть виміряти кут р з поверхні Землі, не літаючи в космос? Для того щоб визначити горизонтальний паралакс світила S, потрібно двом спостерігачам одночасно з точок А і В виміряти небесні координати (пряме сходження та схилення) цього світила (див. §2). Ці координати, які вимірюють одночасно з двох точок — А і Б, трохи відрізнятимуться. На основі цієї різниці координат визначають величину горизонтального паралакса.

Чим далі від Землі спостерігається світило, тим менше буде значення паралакса. Наприклад, найбільший горизонтальний паралакс має Місяць, коли він перебуває найближче до Землі: р=1°01′. Горизонтальний паралакс планет набагато менший, і він не залишається сталим, бо відстані між Землею та планетами змінюються. Серед планет найбільший паралакс має Венера — 31″, а найменший паралакс 0,21″ — Нептун. Для порівняння можна привести приклад, що під кутом 1″ видно літеру «О» у цій книзі з відстані 100 м — такі крихітні кути змушені вимірювати астрономи для визначення горизонтальних паралаксів тіл у Сонячній системі. Як виміряти відстань до зір, дивись у §13.

Рис. 4.11. Горизонтальний паралакс р світила визначає кут, під яким із цього світила було б видно перпендикулярний до променя зору радіус Землі

Усі космічні тіла від планет до галактик рухаються згідно із законом всесвітнього тяжіння, який був відкритий Ньютоном. Закони Кеплера визначають форму орбіти і швидкість руху планет Сонячної системи та їх періоди обертання навколо Сонця.

1. Як називається розташування планет у космічному просторі відносно Землі й Сонця?

А. Конфігурація. Б. Протистояння. В. Космогонія. Г. Піднесення. Д. Переміщення.

2. У протистоянні можуть спостерігатися такі планети:

А. Сатурн. Б. Венера. В. Меркурій. Г. Юпітер.

3. У сполученні із Сонцем можуть перебувати такі планети:

А. Сатурн. Б. Венера. В. Меркурій. Г. Юпітер.

4. У якому сузірТ можна побачити Марс під час протистояння, яке відбувається 28 серпня?

А. Лев. Б. Козеріг. В. Оріон. Г. Риби. Д. Водолій.

5. Як називається точка орбіти, де планета розміщується найближче до Сонця?

А. Перигелій. Б. Перигей. В. Апогей. Г. Афелій. Д. Апекс.

6. Коли Марс видно на небі цілу ніч?

7. Чи можна Венеру побачити в той час, коли вона розміщується найближче до Землі?

8. У яку пору року орбітальна швидкість Землі найбільша?

9. Чому Меркурій важко побачити на небі, хоча він буває яскравішим за Сіріус?

10. Чи можна було б із поверхні Марса побачити Землю під час протистояння Марса?

11. Астероїд обертається навколо Сонця з періодом 3 роки. Чи може цей астероїд зіткнутися із Землею, якщо в афелії він розміщується на відстані 3 а. о. від Сонця?

12. Чи може існувати в Сонячній системі комета, яка в афелії проходить біля Нептуна та обертається навколо Сонця з періодом 100 років?

13. Виведіть формулу для обчислення ваги космонавтів на будь-якій планеті, якщо відомі її радіус і маса.

Диспути на запропоновані теми

14. Як зміниться клімат Землі, якщо ексцентриситет земної орбіти буде дорівнювати 0,5, а велика піввісь залишиться такою, як зараз? Вважати, що кут нахилу осі обертання до площини екліптики залишиться 66,5°.

Завдання для спостережень

15. Визначте за допомогою астрономічного календаря, яка планета Сонячної системи розташовується найближче до Землі на день вашого народження в поточному році. У якому сузір’ї її можна побачити сьогодні вночі?

Ключові поняття і терміни:

Афелій, елонгація, конфігурації планет, паралакс, перигелій, протистояння, сидеричний і синодичний періоди.