Математика. Повний повторювальний курс. Підготовка до ЗНО та ДПА

Площа ромба S (мал. 280 і мал. 281) обчислюється за такими формулами (а – сторона ромба; h – висота ромба; γ – кут ромба):

Приклад 1. Кути ромба відносяться як 1:3, а сторона ромба дорівнює 4 см. Знайдіть площу ромба.

Розв’язання. 1) Оскільки А : АВС = 1 : 3 (мал. 280), то позначимо A = х, АВС = 3х.

2) Маємо рівняння х + 3х = 180°; 4х = 180°; х = 45°. Отже, А = 45°.

Приклад 2. Периметр ромба дорівнює 20 см, а сума його діагоналей – 14 см. Знайдіть площу ромба.

Розв’язання. 1) Оскільки периметр ромба дорівнює 20 см, то його сторона а = АВ = 20/4 = 5 (см).

2) Позначимо діагональ ромба АС = d ₁ і ВD = d ₂ (мал. 281). Тоді за умовою d ₁ + d ₂ = 14.

4) Маємо систему розв’язавши яку отримаємо d ₁ = 6; d ₂ = 8 або d ₁ = 8; d ₂ = 6.

5) Отже, діагоналі ромба дорівнюють 6 см і 8 см. Тоді його площа

Використовуючи сайт ви погоджуєтесь з правилами користування

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Ми приєднуємось до закону про авторське право в цифрову епоху DMCA прийнятим за основу взаємовідносин в площині вирішення питань авторських прав в мережі Інтернет. Тому підтримуємо загальновживаний механізм “повідомлення-видалення” для об’єктів авторського права і завжди йдемо на зустріч правовласникам.

Копіюючи матеріали во повинні узгодити можливість їх використання з авторами. Наш сайт не несе відподвідальність за копіювання матеріалів нашими користувачами.

Площа ромба – формули та приклади

У геометрії ромб – це особливий тип паралелограма, у якому дві пари протилежних сторін рівні. Це означає, що всі сторони ромба рівні.

Учні часто плутають квадрат і ромб. Основна відмінність квадрата від ромба полягає в тому, що всі внутрішні кути квадрата є прямими, тоді як у ромба вони не є прямими.

У цій статті ми дізнаємось, як знайти площу ромба за різними параметрами, такими як діагоналі, сторона та висота, сторона та внутрішній кут, а також розв’яжемо приклади для кожного випадку.

Як знайти площу ромба?

Ромб – це паралелограм. Ми знаємо, що площа паралелограма визначається множенням сторони на висоту, яка проведена до цієї сторони. Те саме стосується і ромба.

До прикладу, якщо розглянути ромб , висота якого проведена до сторін та , то, для обчислення його площі, ми можемо скористатися наступною формулою: , де – площа ромба.

Зауваження: площа ромба вимірюється в квадратних одиницях, таких як , , тощо.

Формула площі ромба через діагоналі.

Якщо відомі розміри діагоналей ромба, то для того щоб знайти його площу, необхідно помножити довжину діагоналей і розділити на 2:

Доведемо істенність даної формули. Для цього, розглянемо ромб . Нехай – точка перетину діагоналей та .

Як видно з рисунка, діагональ ділить ромб на два трикутника і . Відповідно, площа ромба дорівнюватиме сумі площ цих трикутників: .

Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом, тому . Отже, – висота трикутника , а – висота трикутника . Знайдемо площі цих трикутників через висоту та основу:

Підставивши далі отримані значення в записану раніше формулу площі ромба, матимемо:

Таким чином, площа ромба через діагоналі дорівнює , що і треба було довести.

Площа ромба через сторону та кут.

Площа ромба дорівнює добутку квадрата сторони на синус кута цього ромба:

Зазначимо, що виведення даної формули випливає з виведення формули для площі паралелограма, а саме, проведемо діагональ ромба .

За властивістю діагоналей ромба, вона розіб’є його на два рівні трикутники і .

Оскільки трикутники рівні, їх площі також рівні ( ). Тоді, площа ромба дорівнюватиме сумі площ трикутників, з яких він складається, тобто .

Скориставшись далі, формулою площі трикутника, а саме , отримаєм:

Отже, площа ромба через сторону і кут дорівнює . Причому, не важливо, який з кутів брати гострий чи тупий. Вони суміжні, а, як відомо, суміжні кути мають однаковий синус.

Зауваження: якщо позначити довжину сторони, висоти та діагоналей ромба буквами , , і відповідно, то формули площі перепишеться у більш звичній буквенній формі:

Площа ромба – приклади з відповідями.

Розглянуті вище формули для площі ромба застосовуються для розв’язання наступних прикладів. Кожен приклад має своє рішення, але спробуйте розв’язати задачі самостійно, перш ніж дивитися на відповідь.

Приклад 1: чому доірвнює площа ромба з основою і висотою ?

За умовою, маємо, що довжина кожної сторони ромба дорівнює , а його висота – . Обчислимо площу ромба за такими параметрами:

Таким чином, площа ромба дорівнює .

Приклад 2: площа ромба дорівнює а висота – . Яка довжина його сторін

В даному випадку, знаючи площу, ми повинні знайти сторони ромба. Отже, використовуючи формулу , підставляємо задані значення та знаходимо сторони:

Звідси, довжина сторін ромба дорівнює .

Приклад 3: знайти площу ромба, діагоналі якого дорівнюють і .

Отже, за умовою маємо, що діагоналі ромба дорівнюють і відповідно. Використавши формулу площі із заданими значенням матимемо:

Таким чином, площа ромба дорівнює .

Приклад 4: чому дорівнює площа ромба, діагоналі якого рівні і ?

Зазначимо, що у цьому випадку діагоналі ромба рівні і . Використовуючи ці значення у формулі площі, матимемо:

Отже, площа ромба дорівнює .

Приклад 5: ромб має довжину сторін і внутрішній кут . Яка його площа?

Отже, скориставшись формулою обчислення площі ромба через сторону та кут матимемо:

Таким чином, площа ромба дорівнює .

Дивіться також:

Хочете дізнатися більше про ромб? Перегляньте ці сторінки: