Математика. Ґрунтовна підготовка до ЗНО

Розділ І. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З ГЕОМЕТРІЇ 7-9 КЛАСІВ

Тема 2. КУТИ ТА ЇХ ВИДИ. ВЕЛИЧИНА КУТА ТА ЇЇ ВЛАСТИВОСТІ. СУМІЖНІ І ВЕРТИКАЛЬНІ КУТИ

Кутом називається фігура, яка складається з точки, вершини кута, і двох променів, що виходять із цієї точки (промені називаються сторонами кута). Кут позначається знаком ∠. На рис. 1 зображено кут із вершиною О і сторонами ОА і О В. Цей кут позначається так: ∠AOB (літера, яка позначає вершину, завжди ставиться всередині) або ∠O. Нерідко кут позначається цифрою: ∠1. Кут називається розгорнутим, якщо кожна його сторона є продовженням іншої сторони (рис. 2). Два кути називаються рівними, якщо їх можна сумістити накладанням. Наприклад: на рис. 3 ∠1 = ∠2.

Величина кут а та її властивості

Основні властивості вимірювання кутів виражаються аксіомами.

Аксіома вимірювання кутів

Кожний кут має певну градусну міру, більшу за нуль. Розгорнутий кут дорівнює 180°. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами, тобто якщо промінь ОС проходить між сторонами кута АОВ то ∠AOB = ∠AOC + ∠COB (рис. 4).

За одиницю вимірювання кутів приймається градус (позначається — 1°) — кут, який дорівнює частині розгорнутого кута. Меншими одиницями вимірювання кутів є мінута (позначається знаком ‘) і секунда (позначається знаком “): 1° = 60′, 1’ = 60”.

Додатне число, яке показує скільки разів градус і його частини вкладуються в даному куті, називається градусною мірою кута.

Рівні кути мають рівні градусні міри і навпаки: якщо кути мають рівні градусні міри, то кути рівні. Кут називається прямим, якщо він дорівнює 90° (рис. 5); гостріш, якщо він менше 90° (рис. 6); тупим, якщо він більше 90°, але менше 180° (рис. 7).

Бісектрисою кута називається промінь, який виходиш із вершини кута і поділяє його на два рівних кути. На рис. 8 промінь ОС — бісектриса кута АОВ, оскільки ∠AOC = ∠СОВ (рівні кути на рисунках позначають однаковими дужками).

Основна властивість відкладання кутів виражається аксіомою.

Аксіома відкладання кутів

Від будь-якої півпрямої в задану півплощину можна відкласти кут із даною градусного мірою, меншою за 180°, причому тільки один.

Суміжні і вертикальні кути та їх властивості

Оточення. Суміжними називаються два кута, у яких одна сторона спільна, а дві інші є продовженням одна одної.

На рис. 9 кута АОВ і ВОС — суміжні.

Суміжні кута мають таку властивість.

Теореми. Сума суміжних кутів дорівнює 180°.

∠AOB + ∠BOC = 180° (рис. 9), оскільки ∠AOB і ∠BОC — суміжні.

Оточення. Вертикальними називаються два кута, у яких сторони одного кута є продовженням сторін другого.

На рис. 10 вертикальними кутами будуть ∠AOB і ∠COD; ∠AOC і ∠BOD.

Вертикальні кути мають таку властивість.

Теореми. Вертикальні кута рівні.

∠AOB = ∠COD, ∠AOC = ∠BOD (рис. 10), оскільки ∠AOB і ∠COD; ∠AOC і ∠BOD— вертикальні.

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Визначте кількість гострих кутів, зображених на рисунку.

1. Суміжні та вертикальні кути

Два кути, у яких одна сторона спільна, а дві інші сторони є доповняльними променями, називаються суміжними.

Оскільки ∠ AOB = 180 ° — розгорнутий кут і промінь \(OC\) ділить його на дві частини, то ∠ 1 + ∠ 2 = 180 ° \(.\)

1. Якщо два кути рівні, то суміжні з ними кути також рівні.
2. Два кути, суміжні з одним і тим самим кутом, рівні.
3. Кут, суміжний і з прямим кутом, також прямий. Кут, суміжний із тупим кутом, гострий. Кут, суміжний із гострим кутом, тупий.

Якщо перетинаються дві прямі, то утворюються дві пари вертикальних кутів: ∠ 1 , ∠ 3 і ∠ 2 , ∠ 4 \(.\)

За властивістю суміжних кутів ∠ 1 + ∠ 2 = 180 ° і ∠ 1 + ∠ 4 = 180 ° \(.\) Отже, ∠ 2 = ∠ 4 \(.\)

Кутом між двома прямими, що перетинаються, називається менший із кутів, що утворилися в результаті перетину цих прямих.

Ця властивість використовується для побудови паралельних прямих за допомогою лінійки та косинця. Двічі прикладаючи косинець до лінійки, можна провести дві прямі, перпендикулярні до краю лінійки.