Зміст:
Що таке позиційна система числення?
У десятковiй системi числення число складається з цифр у рiзних комбiнацiях. Структура чисел вiдповiдає певнiй системi. Ми називаємо цю систему позицiйною системою числення.
Позицiйна система числення побудована так, що значення кожного числа в нiй залежить вiд його позицiї (розряду). Можна використовувати скiльки завгодно розрядiв, наприклад розряд тисячних i розряд мiльйонних. Приклади десяткових розрядiв:
У числi 6 4 цифра 6 перебуває в розрядi десяткiв, а 4 — в розрядi одиниць. Число можна розкласти на доданки на основi розрядних значень його цифр. Кожне розрядне значення трапляється ту саму кiлькiсть разiв, що й вiдповiдна цифра. Записуємо це так:
У числi 1 0 0 цифра 1 перебуває в розрядi сотень, 0 — у розрядi десяткiв, а другий 0 — у розрядi одиниць. Розкладаємо число на доданки на основi розрядних значень його цифр. Кожне розрядне значення трапляється ту саму кiлькiсть разiв, що й вiдповiдна цифра. Записуємо це так:
1 0 0 = 1 сотня, 0 десяткiв i 0 одиниць
У числi 0 . 4 2 цифра 0 перебуває в розрядi одиниць, 4 — в розрядi десятих, а 2 — в розрядi сотих. Розкладаємо число на доданки на основi розрядних значень його цифр. Кожне розрядне значення трапляється ту саму кiлькiсть разiв, що й вiдповiдна цифра. Записуємо це так:
0 . 4 2 = 0 одиниць + 4 десятих + 2 сотих
Структура позицiйної системи
Усi цифри лiворуч вiд розряду одиниць множаться на 1 0 один i бiльше разiв.
Усi цифри праворуч вiд коми дiляться на 1 0 один i бiльше разiв.
Якщо помножити число на 1 0 , воно перейде в iнший розряд у позицiйнiй системi. Розряди в кожному напрямку можуть додаватися безкiнечно.
Корисно зрозумiти структуру позицiйної системи. З вiком ти зустрiчатимеш надвеликi та надмалi числа, якi перевершать будь-якi з бачених тобою ранiше чисел.
Це число не має десяткового роздiлювача:
Проте пiсля останньої цифри стоїть невидимий роздiлювач (кома). За вiдсутностi десяткового числа кому записувати не потрiбно. Остання цифра числа перебуває в розрядi одиниць.
Воно складається з цифри 6 у розрядi десяткiв, 2 у розрядi одиниць i 7 у розрядi десятих. Число 6 2 . 7 можна записати у виглядi суми розрядних доданкiв, щоб продемонструвати логiку:
6 2 . 7 = 6 0 + 2 + 0 . 7 = 6 × 1 0 + 2 × 1 + 7 × 0 . 1
Ось число 5 3 4 9 . 7 2 8
Воно складається з цифри 5 у розрядi тисяч, 3 у розрядi сотень, 4 у розрядi десяткiв, 9 у розрядi одиниць, 7 у розрядi десятих. 2 перебуває в розрядi сотих, а 8 — у розрядi тисячних. Число 5 3 4 9 . 7 2 8 можна записати у виглядi суми розрядних доданкiв, щоб продемонструвати логiку:
5 3 4 9 . 7 2 8 = 5 0 0 0 + 3 0 0 + 4 0 + 9 + 0 . 7 + 0 . 0 2 + 0 . 0 0 8 = 5 × 1 0 0 0 + 3 × 1 0 0 + 4 × 1 0 + 9 × 1 + 7 × 0 . 1 + 2 × 0 . 0 1 + 8 × 0 . 0 0 1
5 3 4 9 . 7 2 8 = 5 0 0 0 + 3 0 0 + 4 0 + 9 + 0 . 7 + 0 . 0 2 + 0 . 0 0 8 = 5 × 1 0 0 0 + 3 × 1 0 0 + 4 × 1 0 + 9 × 1 + 7 × 0 . 1 + 2 × 0 . 0 1 + 8 × 0 . 0 0 1
Хочеш розв’язувати практичнi завдання на позицiйну систему числення? Тодi тобi стане в пригодi Математична колекцiя!
Система числення
Систе́ма чи́слення (англ. number (numeration) system, notation) – сукупність способів і засобів запису чисел для проведення підрахунків.
Розрізняють такі типи систем числення:
Зміст
Позиційна система
У позиційних системах числення одна і та ж цифра (числовий знак) у записі числа набуває різних значень залежно від своєї позиції. Таким чином, позиція цифри має вагу у числі. Здебільшого вага кожної позиції кратна деякому натуральному числу Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b>1 , яке називається основою системи числення.
Наприклад, якщо b – натуральне число (Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b > 1 ), то для представлення числа x у системі числення з основою b його подають у вигляді лінійної комбінації степенів числа b:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x = \sum_^n a_k b^k
, де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_k
— цілі, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 0 \leq a_k < b
Іншими словами, основа – це кількість символів, що використовуються при записуванні чисел.
Наприклад, число «двісті чотири» представляється у десятковій системі числення у вигляді:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 204 = 2 \cdot 10^ + 0 \cdot 10^ + 4 \cdot 10^
Використовуючи позиційний принцип, можна зобразити будь-яке дійсне число за допомогою усього лиш десяти цифр у їх різних комбінаціях. Позиційна система числення має обмежену кількість символів і значення кожного символу чітко залежить від її позиції у числі. Кількість таких символів q, називають основою позиційної системи числення. Головна перевага позиційної системи числення – це зручність виконання арифметичних операцій. У системах числення з основою меншою 10 використовують десяткові цифри, а для основи більшої 10 добавляють букви латинського алфавіту. У позиційних системах числення значення кожного символу (цифри чи букви) визначається її зображенням і позицією у числі. Окремі позиції в записі числа. називають розрядами, а номер позиції – номером розряду. Число розрядів у записі числа, називається його розрядністю і зберігається з довжиною числа.
Позиційні системи числення діляться на однорідні та неоднорідні. Неоднорідні системи числення – це такі позиційні системи числення, де для кожного розряду числа основа системи числення не залежить одна від одної і може мати будь-яке значення. Прикладом є двійково-п’ятиркова система числення (система зі змішаними основами). Вони використовуються у спеціалізованих ЕОМ ранніх поколінь. Однорідна позиційна система числення – це така система числення, для якої множина допустимих символів для всіх розрядів однакова.
Змішана система
Змішана система числення є узагальненням системи числення з основою Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b
, де на коефіцієнти Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_
(цифри) накладаються деякі обмеження.
Якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_k=b^k
для деякого Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b
, то змішана система збігається з Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b -основною системою числення.
Найвідомішим прикладом змішаної системи числення є представлення часу у вигляді кількості діб, годин, хвилин і секунд. При цьому величина d днів h годин m хвилин s секунд відповідає значенню Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): d\cdot 24\cdot 60\cdot 60 + h\cdot 60\cdot 60 + m\cdot 60 + s
Система числення Фібоначчі
Представлення засновується на числах Фібоначчі:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x = \sum_^n f_k F_k
, де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_k
— числа Фібоначчі, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_k\in\
, при цьому у записі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_nf_\dots f_0
не зустрічаються дві одиниці підряд.
Факторіальна система числення
Представлення використовує факторіал натуальних чисел:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x = \sum_^n d_k k!
, де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 0\leq d_k \leq k .
Біноміальна система числення
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x = \sum_^n
, де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 0\leq c_1 < c_2 < \dots < c_n.
Система залишкових класів
Подання числа в системі залишкових класів засноване на понятті вирахування і китайської теореми про залишки. СОК визначається набором взаємно простих модулів(M_1, m_2, \ dots, m_n(M_1, m_2, \ dots, m_n) з твором M = m_1 \ cdot m_2 \ cdot \ dots \ cdot m_n так, що кожному цілого числа x з відрізка [0, M – 1] ставиться у відповідність набір відрахувань (X_1, x_2, \ dots, x_n) , Де
x \ equiv x_1 \ pmod ; x \ equiv x_2 \ pmod ; . x \ equiv x_n \ pmod .
При цьому китайська теорема про залишки гарантує однозначність подання для чисел з відрізка [0, M – 1] .
В СОК арифметичні операції (додавання, віднімання, множення, ділення) виконуються покомпонентно, якщо про результат відомо, що він є цілочисельним і також лежить в [0, M – 1] .
Недоліками СОК є можливість подання лише обмеженої кількості чисел, а також відсутність ефективних алгоритмів для порівняння чисел, представлених в СОК. Порівняння зазвичай здійснюється через переклад аргументів з СОК в змішану систему числення з підстав (M_1, m_1 \ cdot m_2, \ dots, m_1 \ cdot m_2 \ cdot \ dots \ cdot m_ ) .
Система числення Штерна-Броко
Система числення Штерна-Броко – спосіб запису позитивних раціональних чисел, заснований на дереві Штерна-Броко. [1]
Система числення майя
Майя використовували двадцяткову систему числення за одним вийнятком: у другому розряді було не 20, а 18 ступенів, тобто після числа (17)(19) відразу йшло число (1)(0)(0). Це було зроблено для полегшення розрахунків календарного циклу, оскільки (1)(0)(0) дорівнювало 360, що приблизно дорівнює кількості днів у сонячному році. [2]
Єврейська система числення
Єврейська система числення як цифр використовує 22 буквами єврейського алфавіту. Кожна буква має своє числове значення від 1 до 400 (див. т. ж. Гематрія). Нуль відсутня. Цифри, записані таким чином, найбільш часто можна зустріти в нумерації років за іудейським календарем.
Непозиційна система
Непозиційні системи числення — системи числення у яких величина, яку позначає цифра, не залежить від позиції її у числі. При цьому система може накладати обмеження на позиції цифр, наприклад, щоб вони були розташовані по спаданню, чи згруповані за значенням. Проте це не є принциповою умовою для розуміння записаних такими системами чисел.
У непозиційних системах числення величина, яку позначає цифра, не залежить від позиції її у числі. При цьому система може накладати обмеження на позиції цифр, наприклад, щоб вони були розташовані по спаданню, чи згруповані за значенням. Проте це не є принциповою умовою для розуміння записаних такими системами чисел.
Типовим прикладом непозиційної системи числення є римська система числення, в якій у якості цифр використовуються латинські букви:
Наприклад, VII = 5 + 1 + 1 = 7. Тут символи V і I означають 5 і 1, відповідно, незалежно від місця їх у числі.
Застосування
У нумізматиці особливо велику вагу мають десяткова система, дванадцяткова (дуодецимальна), четвертна та шісткова системи. У інформаційних технологія застосовуються двійкова, десяткова, вісімкова, та шістнадцяткова системи.