8.9: Дозволені значення J – загальне квантове число кутового моменту
Потрібно вміти ідентифікувати електронні стани, що виникають в результаті заданої електронної конфігурації, і визначати їх відносні енергії. Електронний стан атома характеризується питомою енергією, хвильовою функцією (включаючи спін), конфігурацією електронів, загальним кутовим імпульсом та способом з’єднання орбітальних та спінових кутових моментів різних електронів. Існує два опису зчеплення кутового моменту. Один називається j-j муфтою, а інший називається L-S муфтою. Схема муфти j-j використовується для важких елементів (z > 40), а схема з’єднання L-S використовується для більш легких елементів. Тільки L-S муфта розглядається нижче.
L-S Муфта кутового моменту
Муфта L-S також називається муфтою R-S або Russell-Saunders. У L-S-зв’язку орбітальні і спінові кутові моменти всіх електронів об’єднані окремо
Сумарний вектор кутового імпульсу тоді є сумою загального орбітального вектора кутового імпульсу та загального вектора кутового імпульсу спіна.
Загальне квантове число моменту імпульсу параметризує сумарний момент моменту даної частинки, поєднуючи його орбітальний кутовий імпульс та власний кутовий імпульс (тобто його спін). Через спін-орбітальну взаємодію в атомі орбітальний кутовий момент більше не комутується з гамільтоном, а також не спін.
Рисунок Template:index: «Векторні конуси» сумарного кутового моменту \(J\) (фіолетовий), орбітальний \(L\) (синій) та спін \(S\) (зелений). Конуси виникають внаслідок квантової невизначеності між вимірювальними компонентами кутового моменту (див. Векторну модель атома). (Громадське надбання; Maschen).
Однак загальний момент імпульсу \(J\) робить коммутіруют з гамільтоніаном і так є постійною руху (не змінюється в часі). Відповідними визначеннями кутових моментів є:
Орбітальний кутовий момент
з його проекцією на вісь z \[L_z = m_\ell \hbar \nonumber \]
Спін Кутовий імпульс
з його проекцією на вісь z \[ S_z = m_s \hbar \nonumber \]
Загальний кутовий момент
з його проекцією на вісь z \[ J_z = m_j \hbar \nonumber \]
- \(l\) азимутальне квантове число одного електрона,
- \(s\) є спіновим квантовим числом, властивим електрону,
- \(j\) – сумарне квантове число кутового моменту електрона,
Квантові числа приймають значення:
Цей процес може повторюватися для третього електрона, потім четвертого тощо, поки не буде знайдений загальний кутовий момент.
Рисунок Template:index: Векторна модель сумарного кутового моменту: спінова та орбітальна зв’язок (частинки спін-1/2). (Громадське надбання; Maschen).
Результат цих векторних сум задається в коді, який називається символом терміна Рассела-Сондерса, і кожен символ терміна ідентифікує енергетичний рівень атома. Отже, енергетичні рівні також називаються термінами. Термін символ має вигляд, \(^ L_J\) де кодова буква, яка використовується для загального орбітального кутового моменту квантового числа L = 0, 1, 2, 3, 4, 5 – S, P, D, F, G, H відповідно. Зверніть увагу, як цей код відповідає тому, який використовується для атомних орбіталей. Верхній індекс \(2S+1\) дає спіновий кратність стану, де S – сумарне квантове число спінового моменту моменту. Кратність спина – це кількість спінових станів, пов’язаних із заданим електронним станом. Щоб не переплутати кодову букву S для орбітального моменту моменту зі спіновим квантовим числом S, необхідно уважно вивчити контекст, в якому він використовується. У терміновому символі індекс J дає загальне квантове число моменту моменту. Через спін-орбітального зв’язку, тільки \(J\) і \(M_j\) є дійсними квантові числа, а тому, що спін-орбітальна зв’язок слабка \(L\) \(M_l\) \(S\) , і \(m_s\) все ще служать для ідентифікації та характеристики станів для більш легких елементів.
Наприклад, стан землі, тобто найнижчий енергетичний стан атома водню, відповідає конфігурації електронів, в якій електрон займає 1-ю просторову орбіту і може мати або спін, \(\alpha\) або спін \(\beta\) . Термін символ для основного стану є \(^2 S_\) , який читається як «дуплет S 1/2». Спіновий квантове число дорівнює 1/2, тому верхній індекс 2S+1 = 2, що дає спінові кратність стану, тобто кількість спінових станів дорівнює 2 відповідним \(\alpha\) і \(\beta\) . S у терміні символ вказує на те, що сумарне квантове число орбітального моменту дорівнює 0 (Для основного стану водню існує лише один електрон і він знаходиться в s-орбітальному с \(l = 0\) ). Індексит ½ відноситься до загального квантового числа моменту моменту. Загальний кутовий імпульс – це сума спінових і орбітальних кутових моментів для електронів в атомі. У цьому випадку загальне квантове число моменту моменту – це всього лише квантове число спінового моменту, ½, оскільки орбітальний кутовий імпульс дорівнює нулю. Основний стан має виродження два, оскільки загальний кутовий імпульс може мати проекцію осі z \(+\frac \hbar\) або \(-\frac \hbar\) , що відповідає \(m_J\) = +1/2 або -1/2 в результаті двох електронних спінових станів \(\alpha\) і \(\beta\) . Ми також можемо сказати, еквівалентно, що термін основного стану або енергетичний рівень є дворазовим виродженим.
Вправа Template:index
Напишіть символ терміна для стану, який має 0 як для спінових, так і для орбітальних квантових чисел кутового моменту.
Вправа Template:index
Напишіть термін символ для стану, який має 0 для спіна і 1 для орбітального кутового моменту квантових чисел.
8.3: Квантові числа для електронів
Існує два основні способи генерації світла: або нагріти об’єкт, щоб він був настільки гарячим, що він світиться, або пропускати електричний струм через зразок речовини (як правило, газ). Лампи розжарювання та люмінесцентні лампи генерують світло за допомогою цих двох методів відповідно.
Гарячий об’єкт виділяє континуум світла. Ми помічаємо це, коли видима частина електромагнітного спектра пропускається крізь призму: призма розділяє світло на складові його кольори, а всі кольори присутні в суцільній веселці (рис. \(\PageIndex\) – Призми і Світло). Це зображення відоме як безперервний спектр. Однак, коли електрика пропускається через газ і випромінюється світло і це світло пропускається через призму, ми бачимо лише певні лінії світла на зображенні (рис. \(\PageIndex\) ). Це зображення називається лінійним спектром. Виходить, що кожен елемент має свій унікальний, характерний лінійний спектр.
Малюнок \(\PageIndex\) : Призми і Світло. (а) Світиться об’єкт видає повну веселку кольорів, які помічаються лише тоді, коли світло пропускається через призму, щоб створити безперервний спектр. (b) Однак, коли електрику пропускають через газ, випромінюються лише певні кольори світла. Ось кольори світла в лінійному спектрі Hg.
Чому світло, що випромінюється електрично збудженим газом, має лише певні кольори, тоді як світло, що виділяється гарячими предметами, має безперервний спектр? Довгий час це не дуже добре пояснювалося. Особливо простим був спектр водневого газу, який можна було легко описати рівнянням; жоден інший елемент не має такого передбачуваного спектра (рис. \(\PageIndex\) – Водневий спектр). Наприкінці дев’ятнадцятого століття вчені встановили, що положення ліній підкоряються шаблону, заданому рівнянням.
де n = 3, 4, 5, 6 і т.д. проте вони не змогли пояснити, чому це так.
Малюнок \(\PageIndex\) : Водневий спектр. Спектр водню був особливо простим і може бути передбачений простим математичним виразом.
У 1913 році датський вчений Нільс Бор запропонував причину, чому спектр атомів водню виглядав таким чином. Він припустив, що електрон в атомі водню не міг мати ніякої випадкової енергії, маючи лише певні фіксовані значення енергії, які індексувалися числом n (те саме n у рівнянні вище і тепер називаються квантовим числом). Величини, які мають певні конкретні значення, є квантованими значеннями. Бор припустив, що енергія електрона у водні була квантована, оскільки вона перебувала на певній орбіті. Оскільки енергії електрона можуть мати лише певні значення, зміни енергій можуть мати лише певні значення (дещо схожі на сходи – не тільки сходи встановлені на певній висоті, але й висота між ступенями фіксована). Нарешті, Бор припустив, що енергія світла, що випромінюється електрифікованим водневим газом, дорівнює різниці енергій енергетичних станів електрона:
Це означає, що випромінюються лише певні частоти (і, отже, певні довжини хвиль) світла. Малюнок \(\PageIndex\) – Модель Атома водню Бора, показує модель атома водню, засновану на ідеях Бора.
Ілюстрація \(\PageIndex\) : Модель Бора атома водню. Опис Бора атома водню мав специфічні орбіти для електрона, який мав квантовані енергії.
Ідеї Бора були корисні, але були застосовні лише до атома водню. Однак пізніше дослідники узагальнили ідеї Бора в нову теорію під назвою квантова механіка, яка пояснює поведінку електронів так, ніби вони діють як хвиля, а не як частинки. Квантова механіка передбачає дві основні речі: квантовані енергії для електронів всіх атомів (не тільки водню) і організацію електронів всередині атомів. Електрони більше не вважаються випадковим чином розподіленими навколо ядра або обмеженими певними орбітами (у зв’язку з цим Бор помилявся). Замість цього електрони збираються в групи та підгрупи, які багато пояснюють хімічну поведінку атома.
У квантово-механічній моделі атома стан електрона описується чотирма квантовими числами, а не тільки передбаченим Бором. Перше квантове число називається головним квантовим числом (n). Головне квантове число багато в чому визначає енергію електрона. Кажуть, що електрони в одному атомі, які мають однакове основне квантове число, займають електронну оболонку атома. Основним квантовим числом може бути будь-яке ненульове натуральне число: 1, 2, 3, 4.
Усередині оболонки може бути декілька можливих значень наступного квантового числа – квантового числа моментального моменту (). Квантове число має незначний вплив на енергію електрона, але також впливає на просторовий розподіл електрона у тривимірному просторі, тобто на форму розподілу електрона у просторі. Значення l квантового числа може бути будь-яким цілим числом від 0 до n − 1: ly = 0, 1, 2. n − 1.
Таким чином, для заданого значення n існують різні можливі значення, що дорівнюють:
| Якщо n дорівнює | може бути |
|---|---|
| 1 | 0 |
| 2 | 0 або 1 |
| 3 | 0, 1 або 2 |
| 4 | 0, 1, 2 або 3 |
і так далі. Кажуть, що електрони всередині оболонки, які мають однакову величину, як кажуть, займають підоболонку в атомі. Зазвичай замість того, щоб посилатися на числове значення, літера представляє значення ly (щоб допомогти відрізнити його від основного квантового числа):
| Якщо л дорівнює | Лист є |
|---|---|
| 0 | s |
| 1 | р |
| 2 | d |
| 3 | f |
Наступне квантове число називається магнітним квантовим числом (m ly ). Для будь-якого значення ly існує 2:05 + 1 можливі значення m ly , починаючи від −ly до ⟩:
Нижче наведено список можливих значень m ly для можливих значень, що дорівнює числу:
| Якщо л дорівнює | Значення m можуть бути |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | −1, 0 або 1 |
| 2 | −2, −1, 0, 1 або 2 |
| 3 | −3, −2, −1, 0, 1, 2 або 3 |
Особливе значення m ⟩ диктує орієнтацію розподілу електрона у просторі. Коли дорівнює нулю, m ly може бути тільки нулем, тому можлива лише одна орієнтація. Коли л дорівнює 1, існує три можливі орієнтації розподілу електрона. Коли л дорівнює 2, існує п’ять можливих орієнтацій розподілу електронів. Це продовжується і продовжується для інших значень, але ми не повинні розглядати будь-які більш високі значення, які тут. Кожне значення m позначає певну орбіталь. Таким чином, існує лише одна орбіталь, коли α дорівнює нулю, три орбіталі, коли дорівнює 1, п’ять орбіталів, коли дорівнює 2, і так далі. Квантове число m ly не впливає на енергію електрона, якщо електрони не піддаються магнітному полю – звідси і його назва.
Ql квантове число диктує загальну форму розподілу електронів у просторі (рис. \(\PageIndex\) – Електронні орбіталі). Будь-яка s орбітальна сферично симетрична (рис. \(\PageIndex\) – Електронні орбіталі), а в будь-якій s підоболонці є тільки одна орбіталь. Будь-яка орбітальна p має дволопатеву, подібну до гантелей форму (рис. \(\PageIndex\) – Електронні орбіталі); оскільки їх три, ми зазвичай представляємо їх як спрямовані вздовж x-, y- та z-осей декартового простору. Орбіталі d – це чотирилопатеві розетки (рис. \(\PageIndex\) – Електронні орбіталі) і вони по-різному орієнтовані в просторі (та, що позначена d z 2 має дві частки і тор замість чотирьох часточок, але він еквівалентний іншим орбіталям). Коли існує більше одного можливого значення m, кожна орбіталь позначається одним з можливих значень. Слід зазначити, що діаграми на малюнку \(\PageIndex\) є оцінками розподілу електронів у просторі, а не поверхнях, на яких закріплені електрони.
Малюнок \(\PageIndex\) : Електронні орбіталі. (а) Орбітальна лінія s сферична за розподілом. (b) Три орбіталі p мають форму гантелей, і кожна з них вказує в різному напрямку. (c) П’ять d орбіталів мають форму розетки, за винятком d z 2 орбітальна, що представляє собою комбінацію «гантель + тор». Всі вони орієнтовані в різні боки.
Кінцеве квантове число – спінове квантове число (m s ). Електрони та інші субатомні частинки поводяться так, ніби вони обертаються (ми не можемо сказати, чи є вони насправді, але вони поводяться так, ніби вони є). Самі електрони мають два можливих спінових стану, і через математику їм присвоюються квантові числа +1/2 і −1/2. Це єдині два можливі варіанти спінового квантового числа електрона.
Приклад \(\PageIndex\)
З множини квантових чисел n, ⟩ , m, m s >, які можливі, а які не допускаються?
Рішення
- Головне квантове число n має бути цілим числом, як воно тут. Квантове число ly має бути менше, ніж n, яке воно є. Квантове числоm ly має бути між −⟩ і ⟩, Яким воно є. Спінове квантове число дорівнює +1/2, що допускається. Оскільки цей набір квантових чисел дотримується всіх обмежень, це можливо.
- Квантове число n є цілим числом, але квантове число ly має бути менше n, а це не так. Таким чином, це не дозволений набір квантових чисел.
- Головне квантове число n є цілим числом, але не допускається бути від’ємним. Тому це не дозволений набір квантових чисел.
Вправа \(\PageIndex\)
З множини квантових чисел n, ⟩ , m, m s >, які можливі, а які не допускаються?