Яка постать називається багатогранником

Методика вивчення багатогранників у шкільному курсі стереометрії

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

Федеральне агентство з освіти
Державна освітня установа вищої професійної освіти
Вятський державний гуманітарний університет
Математичний факультет
Кафедра математичного аналізу і МПМ
Випускна кваліфікаційна робота
Методика вивчення багатогранників у шкільному курсі стереометрії
Виконав:
студент V курсу математичного факультету
Конопльова Олена Олександрівна
Науковий керівник:
кандидат педагогічних наук, доцент кафедри математичного аналізу і МПМ І.В. Ситникова
Рецензент:
кандидат педагогічних наук, старший викладач кафедри математичного аналізу і МПМ З.В. Шилова
Допущена до захисту в державної атестаційної комісії
«___» __________2005 Р. Зав. кафедрою М.В. Крутіхін
«___»___________ 2005 Декан факультету В.І. Варанкіна
Кіров 2005
Зміст
Введення . . . 3
1. Підходи до визначення багатогранника і його видів . 6
1.1. Підходи до визначення багатогранника . 6
1.2. Підходи до визначення опуклого багатогранника . 13
1.3. Підходи до визначення правильного багатогранника . 16
2.Изучение теми «Многогранники» у шкільному курсі стереометрії . 19
2.1. Вивчення теми в підручнику Атанасян Л.С. . 21
2.2. Вивчення теми в підручнику Смирнової І.М. . 26
2.3. Вивчення теми в підручнику Александрова А.Д. . 28
3. Види і роль наочних засобів при вивченні багатогранників . 30
4. Опорні задачі при вивченні теми «Многогранники ». 34
4.1. Завдання по темі «Призма ». . 35
4.2. Завдання по темі «Піраміда ». . 43
Висновок . . . 51
Література . . . 52
Додаток 1. Дослідне викладання . . 55
Додаток 2. Різні доведення теореми Ейлера . 58

Введення
Тема «Многогранники» одна з основних у традиційному курсі шкільної геометрії. Вони складають, можна сказати, центральний предмет стереометрії. Вивчення паралельних і перпендикулярних прямих і площин, двогранних кутів і інше, так само як введення векторів і координат, – все це тільки почала стереометрії, підготовка засобів для дослідження її більш змістовних об’єктів – головним чином тіл і поверхонь.
Центральна роль багатогранників визначається перш за все тим, що багато результати, пов’язані з інших тіл, виходять виходячи з відповідних результатів для багатогранників; Досить згадати визначення об’ємів тіл та площ поверхонь шляхом граничного переходу від багатогранників.
Крім того, багатогранники самі по собі представляють надзвичайно змістовний предмет дослідження, виділяючись серед всіх тіл багатьма цікавими властивостями, спеціально до них відносяться теоремами і завданнями. Можна, наприклад, згадати теорему Ейлера про кількість граней, ребер і вершин, симетрію правильних багатогранників, питання про заповнення простору многогранниками та ін
Багатогранника повинно бути приділено в шкільному курсі більше уваги ще й тому, що вони дають особливо багатий матеріал для розвитку просторових уявлень, для розвитку того з’єднання живого просторової уяви з суворою логікою, яке становить сутність геометрії. Вже самі прості факти, що стосуються багатогранників, вимагають такого з’єднання, яке виявляється при цьому не зовсім легкою справою. Навіть такий простий факт, як перетин діагоналей паралелепіпеда в одній точці, потребує зусиль уяви, щоб його побачити наочно, і потребує строгого доказі.
Більш того, використання многогранників з самого початку вивчення стереометрії служить різним дидактичним цілям. На багатогранника зручно демонструвати взаємне розташування прямих і площин у просторі, показувати застосування ознак паралельності та перпендикулярності прямих і площин у просторі. Ілюстрація перших теорем стереометрії на конкретних моделях підвищує інтерес учнів до предмету.
Також однією з основних завдань навчання математики є розвиток в учнів абстрактного мислення. Цієї мети значною мірою сприяє застосування наочних посібників, причому не тільки в молодших класах, але і в старших. Широкі можливості для реалізації цієї мети надає тема «Многогранники», зокрема, самостійне виготовлення учнями наочних посібників. У процесі виготовлення моделей багатогранників, крім теоретичних знань і навичок, учні закріплюють сформувалися нові поняття за допомогою креслення і фактичного рішення задач на побудову. При самостійному виготовленні моделей образ створюється по частинах, в силу цього з ними можна робити різні маніпуляції. При цьому всі їхні властивості і особливості легко пізнаються і міцно закріплюються в пам’яті учнів.
Мета роботи: розглянути особливості методики вивчення теми «Многогранники» в курсі стереометрії 10-11 класів.
Завдання роботи:
1) розглянути підходи до основних визначень даної теми: багатогранника, опуклого багатогранника, правильного багатогранника;
2) вивчити виклад даної теми в шкільних підручниках;
3) виділити наочні засоби, які можуть бути застосовані при вивченні багатогранників;
4) підібрати основні завдання для вирішення по даній темі;
5) здійснити дослідне викладання.
Гіпотеза дослідження: вивчення теми «Многогранники» у школі буде більш успішним, якщо при підготовці до уроків учитель математики буде враховувати наступні моменти:
· Існуючі підходи до визначення поняття багатогранник і правильний багатогранник;
· Підходи до вивчення теми в різних підручниках геометрії;
· Особливості вивчення приватних видів багатогранників;
· Вдало підібраний задачний матеріал.
Об’єкт дослідження: процес навчання геометрії в 10-11 класах середньої школи.
Предмет дослідження: методика вивчення багатогранників.

1. Підходи до визначення багатогранника і його видів.
1.1 підходи до визначення багатогранника.
Саме визначення поняття багатогранника виявляється саме таким питанням, де необхідно особливо уважно поєднувати наочні уявлення, розгляд реальних прикладів і логічної точності формулювань. Формулювання повинні виходити з реальних прикладів, з наочних уявлень, і повертатися до них для перевірки і далі – до застосування.
Виділяють два основних способи введення поняття многогранника в шкільному курсі стереометрії:
1) багатогранник як поверхню (наприклад, в підручниках [3] та [22]);
2) багатогранник як тіло.
Частіше використовується другий шлях.
Дати суворе визначення поняттю многогранника в школі важко, так як у визначення входять такі поняття як поверхня, обмеженість, внутрішні точки і ін Така спроба була зроблена в книзі В.М. Клопського, З.А. Скопець, М.І. Ягодовської «Геометрія 9-10» [16], але було дуже складно, так як визначення вводилося в кілька кроків, було багато допоміжних понять.
Найбільш доцільно дати опис на основі наочних уявлень школяра. Простіше і коротше за все визначити багатогранник як тіло, поверхня якого складається з багатокутників (в кінцевому числі). При цьому «тіло» і «поверхня» можна розуміти в наочному сенсі, як розуміють звичайно. Тіло у відверненні його від матеріальності – це частина простору. Тому дане визначення можна переказати й так: багатогранник – це частина простору, обмежена кінцевим числом багатокутників.
Наприклад, у Погорєлова О.В.: «Багатогранник – це таке тіло, поверхня якого складається з кінцевого числа плоских багатокутників»; У Атанасян Л.С.: «Багатогранник – це поверхня, складена з багатокутників і обмежує деякий геометричне тіло».
При цьому у згоді з наочним поданням мається на увазі наступне:

(1) Мається на увазі кінцева частина простору; кінцева у сенсі кінцівки її розмірів, або, як прийнято говорити в математиці, обмежена. (Це обумовлюється, оскільки можна вважати, що багатокутники, що обмежують кінцеву частину простору, обмежують разом з нею і решту його частина – нескінченну, в усякому разі, вони теж утворюють його межу.)
(2) Багатокутники, що обмежують багатогранник, приєднуються до нього (міститися в ньому). Вони утворюють його поверхню; інша ж частина багатогранника – це його нутро, так що багатогранник складається з поверхні і нутрощі. (Це можна вважати описовим визначенням поверхні і нутрощі.) Поверхня всюди прилягає до нутрощі й відокремлює його від іншого простору – зовнішнього по відношенню до багатограннику. Тому, наприклад, куб з «крилом», тобто з прикладеним до нього прямокутником зі стороною на ребрі куба, не вважається багатогранником: крило не прилягає до нутрощі і ніяким чином її не обмежує, не відокремлює від решти простору (рис 1.1).

(3) Багатогранник, і навіть одна його нутро, складається з одного шматка, або, як прийнято говорити в математиці, связна: не виходячи з неї, можна безперервно пройти від однієї її точки до будь-якої іншої. Або, що в даному випадку рівносильно, будь-які дві точки нутрощі можна з’єднати лежить в ній ламаною.
Тому, наприклад, два куби, приставлені один до іншого по ребру, тобто які мають загальне ребро і нічого більше, не утворюють багатогранника, а приставлені по шматку грані – утворюють його, так само як об’єднання паралелепіпеда з поставленим на нього кубом і т . п. (рис.1.2)
Все сказане міститься в наочному уявленні про многограннику і явно обговорюється для того, щоб проаналізувати це наочне уявлення і тим самим з’ясувати, по-перше, ті його елементи, які повинні фігурувати у формально строгому визначенні багатогранника, а по-друге, точніше розрізняти в конкретних випадках, яка фігура повинна бути визнана багатогранником, а яка – ні.
2) Дамо суворе визначення багатогранника, запропоноване А.Д. Александровим.
Почнемо з коротких попередніх визначень; всі вони ставляться як до простору, так і до площини.
Фігура – це те ж, що безліч точок.
Точка називається граничною точкою даної фігури, якщо як завгодно близько від неї є точки, як належать фігури, так і не належать їй.
Точка фігури, що не є її граничною точкою, називається внутрішньою.
Множина всіх граничних точок фігури називається її кордоном, а множина всіх її внутрішніх точок – внутрішністю.
Замкнутої областю називається безліч точок, що володіє наступними властивостями:
(1) Воно містить внутрішні точки, а нутро його связна.
(2) Вона містить свій кордон, і вона збігається з межею його нутрощі.
Дане визначення належить або до безлічі точок на площині, або – в просторі. Замкнута область в просторі називається тілом, а на площині – плоскої замкнутої областю чи просто замкнутої областю, якщо ясно, що мова йде про фігуру на площині.
З визначення замкнутої області – як на площині, так і в просторі – слід, що вона складається з внутрішньої та її межі, яка виявляється так само кордоном самої замкнутої області. Тому замкнуту область можна визначити трохи інакше. Замкнута область – це безліч точок, що має (не порожню) зв’язну нирки та складається з неї та її межі.
Обидва дані вище визначення рівносильні. Кордон замкнутої області усюди прилягає до її нутрощі. У «куба з крилом» (рис 1.1) «крило» входить в межу фігури, але не міститься в межі її нутрощі. Кордон тіла називається його поверхнею.
У визначенні замкнутої області не потрібно, щоб вона була обмеженою – мала кінцеві розміри; допускаються і нескінченні області. Прикладами у просторі можуть служити півпростір, двогранний кут, як безліч, обмежене двома півплощині, та ін Всі простір теж є тілом – це єдине тіло, що не має кордону.
Часто в саме поняття тіла включають вимогу його обмеженості – кінцівки його розмірів, але цього робити не будемо, тому що в геометрії мають справу і з нескінченними тілами. Точно так само і в планіметрії зустрічаються і нескінченні області, наприклад кут – частина площини, обмежена двома променями із загальним початком.
Дамо тепер визначення багатокутника і багатогранника.
Багатокутником називається замкнута область кінцевих розмірів, межа якої складається з кінцевого числа відрізків. Багатокутник називається простим, якщо його межа являє собою одну просту замкнену ламану.
Багатогранником називається тіло кінцевих розмірів, кордон (поверхня) якого складається з кінцевого числа багатокутників. Дане визначення повторює визначення на основі наочних уявлень, однак тепер входять до нього поняття тіла і його поверхні розуміються не тільки наочно, але і з точки зору даних їм вище визначень.
Нерідко, як уже говорилося, багатогранником називають не тіло, обмежене багатокутниками, а поверхня, складену з багатокутників; таке слововживання зустрічається поза шкільного курсу навіть частіше. Зустрічається й змішання термінів, коли «багатогранник» розуміється то в одному, то в іншому сенсі. Так, коли говорять, наприклад, «склеим з розгортки куб», то мають на увазі не тіло, а поверхню.
Подібне вживання одного й того ж слова в різних, хоча і тісно пов’язаних, сенсах зустрічається в геометрії постійно і, можна навіть сказати, характерно для неї. Кутом називають і фігуру, що складається з двох променів, і обмежену нею частина площині; так само як двогранний кут розуміється або як фігура з двох площин, або як обмежена нею частина простору; багатокутником називають і ламану, і обмежену нею частина площини, і т. п. У цьому немає нічого страшного, якщо щораз розуміти, в якому саме значенні вживається в даний момент той чи інший термін.
3) Чи можна дати інше визначення поняття багатогранника, якщо врахувати наступне: фігура, складена з багатогранників, прилеглих один до одного по гранях або по шматках граней, сама виявляється багатогранником, і так можна з простих багатогранників складати як завгодно складні. Це зауваження можна уточнити і отримати з нього нове визначення багатогранника, виходячи з найпростіших багатогранників – з тетраедрів. А саме виконується теорема.
Теорема. Всяке тіло, складене з тетраедрів, є багатогранником і всякий багатогранник можна розбити на тетраедри або, що рівносильно, скласти з тетраедрів.
У кілька уточненої формі і не користуючись поняттям тіла, цю теорему можна висловити так:
Фігура є багатогранником тоді і тільки тоді, коли її можна скласти з кінцевого числа тетраедрів так, що:
(1) кожні два тетраедра або не мають спільних точок, або мають тільки одну спільну вершину, або одне загальне ребро, або одну загальну межу;
(2) від кожного тетраедра до кожного можна пройти по тетраедра, послідовно прилеглим один до іншого по цілим гранях.
Дана теорема дозволяє визначити багатогранник як фігуру, складену з тетраедрів так, що виконані умови (1), (2).
Таке визначення, яке характеризує предмет тим способом, яким він може бути побудований, називається конструктивним. Отримане визначення багатогранника саме таке; будь багатогранник будується послідовним прикладанням тетраедрів по гранях; а як будувати тетраедри – відомо.

На противагу цьому визначення багатогранника, розглянуті раніше, полягають у вказівці його характерних властивостей або, інакше кажучи, у точній його описі. Такі визначення називають дескриптивними, тобто описовими.
Описове визначення багатогранника дозволяє судити про фігуру, чи є вона багатогранником чи ні. Подивився з усіх боків на дане тіло, побачив, що всюди його поверхня складається з багатокутників, – значить, багатогранник. Такий же характер мають, наприклад, звичайні визначення призми і піраміди.
Як і для багатогранника, конструктивні визначення можна дати багатокутників багатогранної поверхні. [2]
4) Інший підхід до визначення багатогранника представлений в книзі В.Г. Болтянською «Елементарна геометрія» [7], побудований на основі вейлевской векторної аксіоматики геометрії. Цей підхід не застосовується у шкільних підручниках, але для прикладу можна навести одне з визначень.
При вейлевском викладі геометрії первісними поняттями є точка, вектор і наступні операції над ними: парі точок зіставляється деякий вектор, сума векторів, добуток вектора на число та скалярний твір, а також їх властивості.

Найбільш відомим прикладом багатогранника є паралелепіпед. Його можна описати таким чином. Береться паралелограм ABCD і з його вершин відкладаються рівні вектори АА 1 = ВВ 1 = СС 1 = DD 1 = e, де з не паралельний площині паралелограма ABCD (Рис. 1.3). [7]
Визначення приватних видів багатогранників (призми, піраміди та ін) в даному підході практично не відрізняються від визначень в шкільному курсі, але цікавий сам підхід до визначення на основі іншої аксіоматиці.
Таким чином, визначення багатогранника може бути дано різними способами, і в різній літературі і в різних підручниках можна зустріти різні підходи до визначення.
Можна дати поняттю багатогранника як дескриптивное, так і конструктивне визначення, як визначення, засноване на наочному поданні, так і суворе. Можна визначити багатогранник як тіло і як поверхню. Різні також визначення багатогранника, дані на основі різних аксіоматики. У шкільних підручниках частіше дається якесь одне визначення, але корисно учням показувати й інші способи визначення багатогранника.
Як і при введенні поняття багатогранника, існують різні способи введення опуклих багатогранників і правильних багатогранників. Розглянемо ці способи докладніше.
1.2 Підходи до визначення опуклого многогранника.
Після введення поняття многогранника в школі, як правило, розглядають опуклі багатогранники. Вдалим вважається підхід, коли відразу дається визначення опуклого багатогранника і для нього визначаються елементи, що зробити легше. Вивчення властивостей як опуклих багатокутників, так і опуклих багатогранників займає дуже велике місце в шкільному курсі геометрії. Однак точний зміст поняття «опуклий» в середній школі не розкривається і причини, що змушують вимагати опуклості розглянутих багатокутників і многогранників, ніде не пояснюються. Учні часто взагалі не сприймають сенсу прикметника «опуклий» і лише за звичкою, машинально у відповідь на пропозицію зобразити будь-якої чотирикутник малюють фігуру, зображену на малюнку l.4, а (А іноді навіть фігуру, зображену на рис 1.4, б), а не фігуру, зображену на рис l.4, ст. При цьому може здатися, що лише недолік загальної математичної культури змушує їх вважати всі чотирикутники опуклими, подібно до того як найбільш слабкі школярі іноді не в змозі уявити собі чотирикутника, відмінного від прямокутника (рис. 1.4, б), паралелограма або, в кращому випадку, від трапеції. У деяких випадках ігнорування умови про опуклості многокутника або багатогранника виявляється навіть цілком законним – яку, наприклад, цінність має застереження про опуклості в теоремі: сума кутів опуклого n-кутника дорівнює (n – 2) .180 ° Умова цієї теореми повністю зберігає силу і для неопуклих (простих) багатокутників; так, наприклад, ясно, що сума кутів і неопуклого чотирикутника (рис. 1.4, в) дорівнює 360 °. Правда, що приводиться в школі доказ теореми справедливо лише для опуклих багатокутників.

Поняття опуклого багатогранника найчастіше вводять по аналогії з опуклим багатокутником. Дуже добре ця аналогія проглядається в підручнику Александрова [3]. Існує два способи визначення опуклого многогранника. Багатогранник називається опуклим, якщо він лежить по один бік від кожної з обмежують його площин. Такий підхід прийнятий в підручниках [4] та [22]. Або багатогранник називається опуклим, якщо будь-які дві його точки можуть бути з’єднані відрізком. Таке визначення дається у підручнику [28]. У підручнику [3] за основу береться друге визначення і доводиться можливість іншого (в нашому випадку першого) визначення.
Зупинимося докладніше на другому визначенні. Найчастіше в геометрії розглядають зв’язкові фігури, тобто такі, в яких будь-які дві точки можна з’єднати лінією, цілком належить цій фігурі. При цьому з’єднує лінія може виявитися досить складною (рис 1.5). Природно виділити клас фігур, для яких в якості лінії, що з’єднує дві її точки А, В, завжди можна вибрати найпростішу лінію – прямолінійний відрізок АВ. Такі постаті називаються опуклими.
Фігура F називається опуклою, якщо разом з кожними двома точками А, В вона цілком містить і весь відрізок АВ. Приклади опуклих фігур показані на рис.1.6; на рис. 1.7 зображені деякі неопуклі фігури.
Крім плоских, можна розглядати просторові опуклі фігури (їх зазвичай називають опуклими тілами). Прикладами можуть служити тетраедр, паралелепіпед, куля, кульовий шар та інші.

Опуклі тіла в просторі можна визначити як перетин деякого безлічі півпросторів. Найпростішими опуклими тілами є ті, які можна представити у вигляді перетину кінцевого числа півпросторів. Такі опуклі тіла називаються опуклими многогранниками.

Властивість, покладене в основу визначення опуклих фігур (існування у фігурі прямолінійного відрізка, що з’єднує будь-які дві її точки), з першого погляду може здатися несуттєвими, навіть надуманим. У дійсності ж виділяється цим визначенням клас опуклих фігур є досить цікавим і важливим для геометрії. Справа в тому, що «довільні» геометричні фігури можуть бути влаштовані надзвичайно складно. Наприклад, визначити, чи знаходиться точка А «всередині» або «поза» замкнутого багатокутника, зображеного на ріс1.8, зовсім не просто. Якщо ж розглядати постаті, які не є багатокутниками, то можна зіткнутися і з набагато більшими труднощами. Існує, наприклад, плоска фігура, обмежена не перетинає себе замкненою лінією і в той же час не має ні площі, ні периметра. Для опуклих фігур такі жахливі явища не можуть мати місця: внутрішня область опуклої фігури порівняно просто влаштована, будь-яка обмежена плоска опукла фігура володіє певними площею і периметром, а просторове опукле тіло – обсягом і площею поверхні і т. д. Таким чином, опуклі фігури складають клас порівняно просто влаштованих фігур, що допускають вивчення геометричними методами.
З іншого боку, клас опуклих фігур є досить великим. Так, всі фігури і тіла, що розглядаються в елементарній геометрії, або є опуклими, або представляють собою нескладні комбінації опуклих фігур і тіл. [6]
1.3 Підходи до визначення правильного багатогранника.
Після введення опуклих багатогранників вивчаються їх види: призми, піраміди та їх різновиди. Практично у всіх підручниках вони визначаються однаково. А при введенні визначення правильного багатогранника автори підручників розходяться в поглядах. Тому цікаво розглянути різні підходи до визначення поняття правильного багатогранника і їх методичні особливості.
У різних підручниках з стереометрії використовуються різні визначення цього поняття. Так, в підручнику [4] та інших опуклий багатогранник називається правильним, якщо всі його грані – рівні правильні багатокутники і, крім того, в кожній вершині сходиться одне і те ж число ребер. У підручнику [22] замість умови рівності правильних багатокутників потрібно, щоб правильні багатокутники були з одним і тим же числом сторін. Посібник А.Д. Александрова та інших [3] у порівнянні з підручником [4] накладає додаткову вимогу рівності всіх двогранних кутів правильного багатогранника. При цьому багатогранник називається опуклим, якщо будь-які дві його точки поєднувані в ньому відрізком. [3]
Навчальний посібник [16] дає таке визначення: опуклий багатогранник називається правильним, якщо всі його грані – конгруентні правильні багатокутники, і всі його багатогранні кути мають однакове число граней.
В [15] багатогранник називається правильним, якщо всі його грані – рівні правильні багатокутники і всі багатогранні кути рівні. І, нарешті, в книзі [9] сказано: багатогранник називається правильним, якщо всі його грані рівні правильні багатокутники, і всі його двогранні кути рівні.
Як бачимо, у всіх перерахованих підручниках даються різні визначення поняття правильного багатогранника, що використовують різні властивості правильних багатогранників.
Перелічимо їх:
1 °. Випуклість багатогранника.
2 °. Всі грані – рівні правильні багатокутники.
3 °. Всі грані – правильні багатокутники з одним і
тим же числом сторін.
4 °. У кожній вершині сходиться однакове число ребер.
5 °. Всі багатогранні кути мають однакове число граней.
6 °. Рівні всі багатогранні кути.
7 °. Рівні всі двогранні кути.
Можливі й інші властивості правильних багатогранників,
наприклад:
8 °. Рівні всі ребра багатогранника.
9 °. Рівні всі плоскі кути багатогранника.
Які ж властивості слід взяти для визначення правильного багатогранника? Яким методичним вимогам воно повинно задовольняти?
Нам видається, що для відбору властивостей у визначенні правильного багатогранника потрібно керуватися наступними вимогами:
– Будь-яке визначення повинно бути повним, тобто включати ті властивості, які повністю визначають дане поняття. Іншими словами, будь-яку властивість даного поняття має бути виведено з властивостей, перерахованих у визначенні.
– Будь-яке визначення повинно бути по можливості економним, тобто не містити зайвих властивостей, які виводяться з інших властивостей правильного багатогранника.
– Визначення поняття правильного багатогранника має відображати вже наявні уявлення учнів про слово “правильний” (правильний багатокутник, правильна піраміда і т. д.).
– Визначення поняття правильного багатогранника повинно бути просторовим аналогом визначення поняття правильного багатокутника на площині.
– Визначення правильного багатогранника повинно допускати можливі узагальнення, наприклад, на випадок напівправильні і топологічно правильних багатогранників.
– Визначення має бути педагогічно доцільним, тобто властивості, включені до нього, повинні в тій чи іншій мірі використовуватися при вивченні правильних багатогранників, нести певні педагогічні функції.
Просторовими аналогами визначення правильного багатокутника є визначення, дані в посібниках [15] та [9]. До достоїнств цих визначень ми відносимо і те, що в них відсутня вимога опуклості, яке, з одного боку, є досить складним для учнів, а з іншого – фактично не використовується при доказі теорем і розв’язанні задач. До недоліків цих визначень слід віднести те, що вони не узагальнюються на випадки напівправильні і топологічно правильних багатогранників. Наприклад, рівність двогранних кутів не переноситься на випадок напівправильні багатогранників.
Для визначення топологічно правильних багатогранників слід використовувати властивості, що носять топологічний характер. Такими властивостями з перерахованих вище є 3 °, 4 ° і 5 °. Тому краще всього для цих цілей підходить визначення правильних багатогранників, дане в підручнику [22].
Таким чином, ми бачимо, що жодна з розглянутих вище визначень правильного багатогранника не є універсальним, тобто задовольняє всім вимогам. У залежності від цілей навчання слід вибирати і відповідне їм визначення. Так, якщо треба тільки ознайомити учнів з визначенням правильного багатогранника, встановивши аналогію з визначенням правильного багатокутника, не досліджуючи при цьому докладно властивості правильних багатогранників, то доцільно використовувати визначення, дані в посібниках [15] та [9]. Якщо ж ми хочемо розглянути властивості правильних багатогранників більш докладно, зокрема перейти до напівправильні і топологічно правильних багатогранників, то краще всього звернутися до визначень з підручників [4] та [22]. [29], [27]
2.Изучение багатогранників у шкільному курсі математики.
У шкільних підручниках після вивчення «нескінченно-протяжних» і в силу цього досить абстрактних геометричних фігур: прямих і площин (вірніше сказати, їх взаємного розташування в просторі) вивчаються зримі, «кінцеві», навіть, можна сказати, відчутні просторові фігури, і в першу чергу багатогранники. Багатогранник Можна вказати на такі дві проводяться методологічні лінії у вивченні геометрії багатогранників: це їх класифікація та вивчення різного роду кількісних характеристик. Звичайно, ці лінії переплітаються між собою. У даній темі розглядаються прості характеристики – чисельні: довжини ребер, висоти, величини кутів, площі поверхонь, – і якісні, типу «правильності». Власне кажучи, якісні характеристики – це одна з основ класифікації багатогранників. Якщо виключити стояли трохи в стороні від провідної лінії курсу правильні багатогранники (п’ять «платонових тіл»), то логічну схему класифікації «шкільних» багатогранників можна описати приблизно таким чином. Розглядаються (і строго визначаються) тільки два види багатогранників: призми і піраміди. Звичайно, всередині цих видів проводиться груба класифікація за кількістю кутів – призми і піраміди бувають n-вугільними, де n = 3, 4, 5, . Більш детальна класифікація – по взаємному розташуванню ребер і граней, з вигляду граней. Для призм вона відносно «розгалужена»:

Перше завдання вчителя – домогтися від всіх учнів знання цієї класифікації в тому вигляді, в якому вона подається у навчальному посібнику, тобто у вигляді відповідних визначень. І в учня, і у вчителя при вивченні даної теми може виникнути цілком природне запитання: чому стільки уваги (і стільки завдань) присвячується всього лише трьом приватним типам багатогранників – паралелепіпеда, правильним призмам і правильним пірамідам? Причин принаймні три: 1) ці багатогранники потрібні для подальшої побудови теорії (головним чином теорії обсягів), 2) вони мають симетрією, як багато форм природи і творіння рук людських (скажімо, архітектурні форми), 3) вони мають «хорошими властивостями », тобто для них можна сформулювати і довести досить прості теореми.
Остання перевага обумовлена ​​властивостями симетричності, з іншого боку, саме «хороші властивості» і використовуються в теоретичних цілях. Всі теореми цієї теми відносяться до «обраних» багатогранника, причому зовсім просто доводяться і наполовину мають обчислювальний характер (тобто вид формул). Тому друге завдання вчителя – домогтися знання учнями всіх теорем (з доказами).
Третя за рахунком, але першочергове для вчителя завдання – навчити школярів розв’язувати задачі. Практично всі завдання (вправи) теми обчислювальні, більшу частину з них складають прості або зовсім прості завдання, і тут перед учителем розкриваються великі можливості у продовження лінії навчання школярів магічними прийомів вирішення завдань. У завданнях знаходять відображення і головні методологічні ідеї вирішення завдань – аналогія стереометрії з планіметрії, зведення стереометричних задач до планіметричних.
Розглянемо вивчення теми «Многогранники» у шкільних підручниках. Для прикладу візьмемо підручники різного рівня викладу матеріалу: призначені для загальноосвітньої школи, для гуманітарних класів, для класів з математичним ухилом.
2.1 Підручник Атанасян Л.С.
Розглянемо вивчення теми «Многогранники» за підручником Атанасян. Цей підручник призначений для загальноосвітньої школи. Зупинимося на ньому докладніше.
Дана тема вивчається в розділі 3. На вивчення її відводиться 12 уроків. Нижче наведено поурочне планування в таблиці.

Номер уроку Зміст навчального матеріалу
1-4 § 1. Поняття багатогранника. Призма.
Поняття багатогранника. Призма. Площа поверхні призми. (П.25-27)
5-9 § 2. Піраміда.
Піраміда. Правильна піраміда. Усічена піраміда. Площа поверхні піраміди. (П.28-30)
10 § 3. Правильні багатогранники.
Симетрія в просторі. Поняття правильного багатогранника. Елементи симетрії правильних багатогранників. (П. 31-33)
11 Контрольна робота.
12 Залік по темі.

Ще до вивчення теми «Многогранники» учні знайомляться з їх найпростішими видами у розділі 1 § 4 «Тетраедр і паралелепіпед». На їх вивчення відводиться 5 годин. Поняття тетраедра і паралелепіпеда вводяться в цьому розділі для того, щоб розгляд їх властивостей, побудова перерізів сприяли поглибленню розуміння питань взаємного розташування прямих і площин, тому необхідно, щоб рішення завдань супроводжувалося посиланнями на аксіоми, визначення і теореми.
При поясненні понять тетраедра і паралелепіпеда необхідно підкреслити, що багатокутник в просторі представляє собою плоску поверхню, а тетраедр і паралелепіпед – поверхні, складені з плоских поверхонь (багатокутників).
Для формування в учнів уявлення про способи зображення на кресленні тетраедра і паралелепіпеда корисно за допомогою діапроектора показати на екрані різні проекції їх каркасних моделей. Корисно також обговорити найпростіші властивості паралельної проекції.
У результаті вивчення параграфа учні повинні вміти пояснити, що називається тетраедром, паралелепіпедом, зазначати і називати на моделях і кресленнях елементи цих многогранників; знати властивості граней і діагоналей паралелепіпеда; вміти зображати тетраедр і паралелепіпед, будувати їх перетину.
Основна мета теми «Многогранники» – дати учням систематичні відомості про основні види многогранників.
Учні вже знайомі з такими поняттями, як тетраедр і паралелепіпед, і тепер їм належить розширити уявлення про багатогранника і їх властивості. У підручнику немає строгого математичного визначення багатогранника, а наводиться лише деякий опис, так як суворе визначення громіздко і важко не тільки для розуміння учнями, але і для його застосування. Таке наочне уявлення про геометричні тілах цілком достатньо для учня на первинному рівні розгляду поняття. Нижче, у п. 26, розглядається визначення геометричного тіла, у зв’язку з чим вводиться ряд нових понять. Цей матеріал можуть прочитати самостійно найбільш підготовлені учні, які виявляють підвищений інтерес до математики.
На уроці, використовуючи моделі багатогранників (куб, паралелепіпед, тетраедр, призма), необхідно назвати учням їх елементи: вершини, грані, ребра, діагоналі граней і діагоналі розглядуваних тіл. Важливо, щоб школярі засвоїли ці поняття, що дозволить правильно розуміти формулювання завдань, не змішуючи назви різних елементів у процесі їх вирішення. Після цього вводиться поняття опуклого і не опуклого багатогранників; обов’язково учням показати приклади неопуклих багатогранників.
Призма А 1 А 2 . А n В 1 В 2 . У n визначається як багатогранник, складений з двох рівних багатокутників А 1 А 2 . А n і В 1 В 2 . У n, розташованих у паралельних площинах, і n-паралелограмів А 1 А 2 В 2 В 1, . А n А 1 В 1 У n. Далі вводяться визначення елементів призми, за допомогою моделей роз’яснюються поняття прямої призми, похилій призми, правильної призми. Необхідно звернути увагу учнів на те, що чотирикутна призма – це знайомий їм паралелепіпед. У довільного паралелепіпеда всі шість граней – паралелограми, а бічні грані – прямокутники, у прямокутного паралелепіпеда всі шість граней – прямокутники. При вивченні площі поверхні призми доводиться теорема про площу бічної поверхні прямої призми.
Піраміда визначається як багатогранник, складений з n-кутника А 1 А 2 . А n і n-трикутників. При введенні поняття правильної піраміди слід акцентувати увагу учнів на двох моментах: підстава піраміди – правильний багатокутник, і відрізок, що з’єднує вершину піраміди з центром її заснування, є висотою піраміди. Можна усно довести, що бічні грані правильної піраміди – рівні рівнобедрені трикутники. Після цього вводиться поняття апофема правильної піраміди (висота бічної грані правильної піраміди, проведеної з її вершини), при цьому треба підкреслити, що цей термін вживається тільки для правильної піраміди, хоча у неправильної піраміди також можуть бути рівні висоти бічних граней.
При вивченні теореми про площу бічної поверхні правильної піраміди корисна символічна запис докази. Нехай сторона підстави n-вугільної піраміди дорівнює а, апофема дорівнює d, S Δ – площа бічної грані. Тоді
S-пліч = n ∙ S Δ, S-пліч = n ∙ ad, S-пліч = (N ∙ a) ∙ d, S-пліч = Pd, де P – периметр основи піраміди.
Далі вводиться поняття усіченої піраміди. Площина, паралельна підставі піраміди, розбиває її на два багатогранника: один з них є пірамідою, а інший називається усіченою пірамідою. Усічена піраміда – це частина повної піраміди, укладена між її основою і січною площиною, паралельною основи цієї піраміди. При виконанні малюнків до задач на усічену піраміду зручно спочатку накреслити повну піраміду, а потім виділити усічену піраміду.
При введенні поняття правильної усіченої піраміди треба зазначити, що її заснування – правильні багатокутники, а бічні грані – рівні рівнобедрені трапеції; висоти цих трапецій називаються апофема усіченої піраміди. Також виводиться формула площі бічної поверхні правильної усіченої піраміди.
Останнє, що вивчається в темі «Многогранники» у підручнику [4], це симетрія у просторі і поняття правильного багатогранника. Основними поняттями тут є поняття симетричних точок відносно точки, прямої, площини; поняття центру, осі, площини симетрії фігури. При введенні поняття правильного багатогранника потрібно підкреслити дві умови, що входять у визначення: а) всі грані такого багатогранника – рівні правильні багатокутники, б) в кожній вершині многогранника сходиться одне і те ж число ребер. У підручнику доведено, що існує п’ять видів правильних багатогранників і не існує правильного багатогранника, гранями якого є правильні n-косинці при n ≥ 6. Доцільно запропонувати учням виготовити вдома моделі правильних багатогранників. Для цієї мети треба використовувати розгортки, зображені в підручнику.
Таким чином, в даному підручнику багатогранники вивчаються з опорою на наочність, предмети навколишньої дійсності.
Весь теоретичний матеріал теми відноситься або до прямих призмам, або до правильних призмам і правильним пірамідам. Всі теореми доводяться досить просто, результати можуть бути записані формулами, тому в темі багато завдань обчислювального характеру, при вирішенні яких відпрацьовуються вміння учнів користуватися відомостями з тригонометрії, формулами площ, вирішувати задачі з використанням таких понять, як «кут між прямою і площиною», «двогранний кут» та ін [4], [24]
2.2Учебнік Смирнової І.М.
Цей підручник призначений для викладання геометрії 10-11 класах гуманітарного профілю. У порівнянні з традиційним викладом у підручнику трохи скорочено теоретичний матеріал, більше уваги приділяється питанням історичного, світоглядного і прикладного характеру.
Як і в [4], особливістю підручника є раннє введення просторових фігур, у тому числі багатогранників, в п.3 «Основні просторові фігури». Мета – сформувати уявлення учнів про основні поняття стереометрії, ознайомити з просторовими фігурами і моделюванням багатогранників. Вводиться поняття багатогранника як просторової фігури, поверхня якої складається з кінцевого числа багатокутників, званих гранями багатогранника. Сторони цих багатокутників називаються ребрами багатогранника, а вершини багатокутників – вершинами багатогранника.
Учням демонструються такі многогранники:
– Куб – багатогранник, поверхня якого складається з шести квадратів;
– Паралелепіпед – багатогранник, поверхня якого складається з шести паралелограмів;
– Прямокутний паралелепіпед – паралелепіпед, у якого грані – прямокутники;
– Призма – багатогранник, поверхня якого складається з двох рівних багатокутників, званих підставами призми, і паралелограма, званих бічними гранями (причому у кожного паралелограма два протилежних ребра лежать на підставах призми);
– Пряма призма – призма, бічні грані якої – прямокутники; правильна призма – пряма призма, підставами якої є правильні багатокутники;
– Піраміда – багатогранник, поверхня якого складається з багатокутника, званого основою піраміди, і трикутників із загальною вершиною, званих бічними гранями піраміди;
– Правильна піраміда – піраміда, в основі якої правильний багатокутник, і всі бічні ребра рівні.
Показуються більш складні многогранники, в тому числі правильні, напівправильні і зірчасті многогранники. Розглядається декілька способів виготовлення моделей багатогранників з розгорток та геометричного конструктора. Моделювання багатогранників служить важливим фактором розвитку просторових уявлень учнів.
Таким чином, до початку безпосереднього вивчення теми «Многогранники» учні вже знайомі (на доступному для них рівні) з традиційним матеріалом по цій темі. З’являється можливість розширити уявлення учнів про багатогранника, розглянувши з ними більш докладно правильні, напівправильні і зірчасті многогранники.
Основна мета даного розділу – ознайомити учнів з поняттям опуклості і властивостями опуклих багатогранників, розглянути теорему Ейлера і її застосування до вирішення завдань, сформувати уявлення про правильні, напівправильні і зірчастих багатогранника.
Можна навести зразкову тематичне планування даної теми.

Пункт підручника Зміст Кількість годин
18 Опуклі багатогранники 2
19 Теорема Ейлера 2
20 * Програми теореми Ейлера 2
21 Правильні багатогранники 2
22 * Топологічно правильні багатогранники 1
23 Напівправильні багатогранники 2
23 Зірчасті багатогранники 1

Серед просторових фігур особливе значення мають опуклі фігури і, зокрема, опуклі багатогранники. Дане поняття в підручнику вводиться таким чином: багатогранник називається опуклим, якщо він є опуклою фігурою, тобто разом з будь-якими двома своїми точками цілком містить і з’єднує їх відрізок. Далі розглядаються властивості опуклих багатогранників.
Після вивчення опуклих багатогранників розглядається теорема Ейлера і її застосування. В якості таких додатків розглядаються завдання про трьох будиночках і трьох колодязях, проблема чотирьох фарб, вводиться поняття графа.
Опуклий багатогранник називається правильним, якщо його гранями є рівні правильні багатокутники, і в кожній вершині сходиться однакове число граней. Опуклий багатогранник називають напівправильною, якщо його гранями є правильні багатокутники (можливо, і з різним числом сторін), причому в кожній вершині сходиться однакове число граней. Розглядаються п’ять видів правильних багатогранників, деякі види напівправильні і чотири зірчастих багатогранника.
При вивченні правильних, напівправильні і зірчастих багатогранників слід використовувати моделі цих багатогранників, виготовлення яких описано в підручнику, а також графічні комп’ютерні засоби. [28], [27], [29], [30]
2.3 Підручник Александрова А.Д.
Цей підручник призначений для класів і шкіл з математичної спеціалізацією, він дає багату математичну інформацію, розвиває учня, але є досить важко засвоюваним. У підручнику розглядаються такі теми, які в основній школі не доступні навіть для «сильних» учнів, наприклад, сферична геометрія.
Відзначимо особливості вивчення багатогранників у цьому підручнику. По-перше, багатогранники вивчаються після круглих тел. По-друге, при вивченні багатогранника і його елементів простежується зв’язок з багатокутником. Внаслідок чого можливі дві послідовності викладу теми: 1) узагальнити поняття багатокутника, потім розібрати аналогічні питання в просторі, 2) користуючись § 21 підручника, дати спочатку визначення багатогранника, далі узагальнити поняття багатокутника. Особливістю є введення двох визначень призми (як у підручниках, розглянутих вище, і як циліндр, в основі якого лежить багатокутник), причому доводиться равносильность цих визначень. Аналогічно дається інше визначення піраміді: як конус з багатокутником в основі. Пункт 23.6 містить розділ про тріангулірованіі багатогранника, і в ньому дається інше, конструктивне визначення багатогранника. § 24 «Опуклі многогранники» вперше викладається в такому серйозному вигляді, розглядається питання равносильности двох визначень опуклого многогранника. Виклад теми «Правильні многогранники» також відрізняється від її викладу в підручниках з геометрії інших авторських колективів: спочатку показуються п’ять типів правильних багатогранників, побудовою доводиться, що всі п’ять типів правильних багатогранників існують, і тільки після цього доводиться, що інших правильних опуклих багатогранників бути не може. Звичайно ж після визначення відразу доводилася теорема, а існування показувалося пізніше, що ускладнювало методику розповіді.
Таким чином, підручник містить дуже багатий теоретичний матеріал з багатогранника, якого немає в інших підручниках з геометрії, також він може бути використаний як підручник для додаткового вивчення в основній школі. Нижче в таблиці наведено зразкову поурочне планування матеріалу. [3], [20]

№ уроку Зміст навчального матеріалу
1-2 Узагальнення поняття багатокутника. Багатогранник.
3-5 Призма, паралелепіпед. Вправи.
6-10 Піраміда. Види пірамід. Вправи.
11-13 Опуклі багатогранники.
14-16 Теорема Ейлера. Розгортка опуклого многогранника.
17-19 Правильні багатогранники.

Підводячи підсумки вище сказаного, можна сказати, що у всіх підручниках при вивченні багатогранників розглядається практично одні й ті ж основні теми: визначення багатогранника, опуклі багатогранники, призма, піраміда, правильні багатогранники. Різниця лише в глибині вивчення цих питань: у гуманітарних класах [28] тема вивчається більш поверхнево, практично без доказів, в класах з поглибленим вивченням математики [3] дане питання розглядається глибоко, з науковими обгрунтуваннями. Також є відмінності в деяких додаткових темах, наприклад, напівправильні і зірчасті многогранники розглядаються тільки в [28]. В даний час у багатьох загальноосвітніх школах йде навчання за підручником [4], тому при виборі змісту можна спиратися на нього.
3. Види і роль наочних засобів при вивченні багатогранників.
Тема «Многогранники», як ніяка інша тема шкільного курсу стереометрії, за винятком, можливо, вивчення круглих тіл, дає широкі можливості використання різних наочних засобів.
Наочність є обов’язковим якістю будь-якого навчання. Шляхом цілеспрямованих дій ми формуємо у свідомості учня деяку систему понять, відносин між ними. Для того щоб навчання було успішним, необхідно, щоб учень міг сприймати цю систему і працювати з нею. Але для цього, у свою чергу, необхідно пред’явити учневі деяку її матеріальну модель. Для цього застосовують наочні засоби навчання. Наприклад, якщо вивчається поняття піраміди, то такою моделлю може бути: 1) словесний опис (визначення) цього поняття; 2) об’ємна модель піраміди (каркасна або суцільна), 3) її розгортка; 4) зображення піраміди або її розгортки на дошці, на папері, на екрані і т. п. Всі перераховані об’єкти є матеріальними моделями, з тієї чи іншої сторони відбивають поняття піраміди.
Основними наочними засобами при вивченні багатогранників є об’ємні моделі. Такі моделі, зроблені з різних матеріалів, відповідають різним дидактичним цілям.
Так, наприклад, за допомогою картонної моделі можна показати форму багатогранника. Також на таких моделях зручно показати розгортку поверхні тіла. Але через непрозорість картону вже не можна використовувати картонні багатогранники для демонстрації перетину тіл і тіл, вписаних один в одного. Скляні моделі рекомендується використовувати в тих випадках, коли необхідно показати в многограннику перетин або інше вписане в нього геометричне тіло. Дерев’яні моделі відрізняються міцністю. Дротяні каркасні моделі також знаходять широке застосування на уроках стереометрії. Вони дозволяють показати види, елементи і проекцію багатогранника на площину (тінь моделі на аркуші білого паперу), перетин багатогранника площиною, комбінації геометричних тіл. Така модель є сполучною ланкою між об’ємною моделлю багатогранника та кресленням на папері. Можна перерахувати серії каркасних моделей, які можуть бути використані на уроці: набір моделей правильних призм і пірамід (повних і усічених), набір моделей чотирикутних пірамід, вершини яких проектуються в точку перетину діагоналей основи (крім основного контуру, модель повинна мати висоту, діагональ підстави і висоти бічних граней), набір моделей на комбінації багатогранників.
Випускаються промисловістю моделі не завжди можуть задовольнити потреби, що виникають при навчанні школярів математики. Тому вчителі часто вдаються до виготовлення моделей своїми силами з залученням учнів. Це робиться не тільки в тих випадках, коли в школі відсутні необхідна модель, прилад або інструмент, але і коли вчитель вважає, що наявна модель, прилад не повною мірою сприяють ясному і чіткому сприйняттю досліджуваного матеріалу. Вносячи в модель удосконалення, вчитель залучає учнів до виготовлення нового варіанту моделі. Це сприяє отриманню учнями більш глибоких і міцних знань, умінь застосовувати теоретичний матеріал на практиці. Моделі як фабричного, так і саморобного виготовлення можуть бути використані при введенні нових понять і доказі теорем, при вирішенні завдань, при виконанні практичних та лабораторних робіт.
Іншим зручним видом навчального обладнання є гумові штемпелі (штампи) із зображенням різних плоских та об’ємних фігур, графіків, таблиць і т. д. На жаль, такий засіб навчання зараз рідко зустрічається в школі. При використанні цього виду навчального обладнання досить прикласти штемпель до штемпельної подушці і притиснути його до листа паперу, щоб отримати потрібне зображення, наприклад зображення куба або прямокутного паралелепіпеда. При вирішенні завдань, пов’язаних з побудовою зображень куба або прямокутного паралелепіпеда, учні, скориставшись штемпелем, можуть швидко одержати в зошити правильний креслення, що дає велику економію часу. Природно, застосування штемпелів неповинно призвести до втрати учнями навичок креслення фігур. Тому вчитель повинен спочатку навчити учнів зображувати фігури на площині, а потім застосовувати штемпелі на уроці. Штемпелі можуть використовуватися вчителем при підготовці багатоваріантних контрольних завдань. Можна, наприклад, заготовити 35-40 креслень з зображенням прямокутного паралелепіпеда, щоб потім, проставивши розміри, отримати набір індивідуальних завдань.
Також при вивченні багатогранників можна використовувати різні робочі і довідкові таблиці. Робочі таблиці – це такі таблиці, за матеріалом яких можна організувати активну розумову діяльність учнів як по засвоєнню нового теоретичного матеріалу, так і за його закріплення. За допомогою робочих таблиць можливо здійснити виконання великого числа вправ, що сприяють виробленню і закріпленню в учнів певних навичок, можна проводити опитування учнів або створити проблемну ситуацію перед усім класом. Наприклад, при веденні поняття «піраміда» можна використовувати таблицю із зображенням піраміди, її основних елементів і приватних видів. На відміну від робочих таблиць довідкові таблиці, тобто таблиці для запам’ятовування, призначені для тривалого впливу на зоровий апарат учня. Такі таблиці можуть бути вивішені в кабінеті математики на тривалий час. Таким чином, основною властивістю довідкових таблиць є (крім наочності, яка у ряді випадків відіграє важливу роль) їх дидактична спрямованість. Таблиці ці призначені для примусового впливу на пам’ять учня для запам’ятовування основних фактів, формул, графіків і ін Прикладом таких таблиць може служити таблиця «Обчислення площ і обсягів багатогранників», в якій зображені різні види многогранників і зазначені формули обчислення об’єму та площі поверхні для кожного виду.
Великі можливості виховання самостійності та активності відкриваються при використанні зошитів з друкованою основою. На даний момент вони все частіше з’являються в школах. Зошити з друкованою основою призначаються для організації самостійної роботи на етапі закріплення та повторення пройденого матеріалу. Основна відмінна риса зошити в тому, що вона дозволяє більш раціонально використовувати навчальний час, так як учні звільняються при роботі із зошитом від механічного переписування тексту завдань і основну увагу зосереджують на виконанні завдань, включених у зошит. Як правило, такі зошити частіше використовуються в молодших класах. Зошити з друкованою основою включають велику кількість завдань. Мета завдань різна. Завдання можуть дати учневі зразок способу міркувань, рішення, дані в зошиті, можуть містити пропуски в тексті, які учні повинні заповнити при роботі з зошитом (причому пропущені не випадкові слова, а такі, які змушують учня зайвий раз звернутися до визначень, задуматися над послідовністю операцій). Отже, зошит з друкованою основою дає можливість відпрацьовувати поняття і прищеплювати учням навички розв’язання типових задач.
Також не можна забувати й про такі засоби навчання як діапозитиви, кодопозітіви, комп’ютерні засоби, які можуть бути ефективно застосовані при вивченні багатогранників і не тільки їх.
Нерідко наочні засоби розглядають лише як тимчасову опору при початковому засвоєнні знань. Прихильники такої оцінки ролі наочних засобів вважають, що моделі в цьому випадку привчають учнів до очевидності і тому не сприяють розвитку логічного мислення. Висувається навіть дидактичне правило: чим старше учні, тим менше моделей повинне застосовуватися у викладанні математики. Прийняти таку точку зору і що з неї дидактичне правило не можна, так як вони неспроможні. Правильно розуміється застосування наочних засобів не тільки доречно, але і необхідно на всіх ступенях навчання.
Таким чином, готуючись до конкретного уроку, вчитель вибирає ті кошти, з якими легше організувати необхідну роботу учнів, тобто найбільш в даний момент прості для їх сприйняття. Наприклад, якщо на уроці передбачається почати знайомство з поняттям якогось приватного виду багатогранника, то найбільш зручними виявляться об’ємні зображення або зображення на кіноекрані. У процесі ж закріплення цього поняття досить прості для сприйняття плоскі креслення або словесні описи.
Таким чином, щоб деяка матеріальна модель дозволяла організувати засвоєння того чи іншого поняття, вона повинна не тільки правильно його відображати, а й бути простий для сприйняття учнів. [19], [21]

4.Опорние завдання з теми «Многогранники».
Як вже говорилося, вивчення багатогранників є найважливішою частиною курсу стереометрії. Вони дають багатий матеріал задачний як при вивченні самої теми «багатогранники», так і щодо наступних тим стереометрії. Найчастіше в підручниках мало простих завдань «на геометричні тіла», тому на уроці вдається вирішити всього 2-3 завдання середніх труднощів. Але вони не всім учням під силу. Якщо обмежуватися лише такими завданнями, то багато учнів не зможуть брати активну участь у їх вирішенні, і будуть відставати. Якщо ж спеціально приділяти на уроці час для задач, які зводяться до однієї-двох операцій і тому доступні для усного рішення, то можна втягнути в роботу всіх учнів.
Усне рішення завдань «на багатогранники» значно покращує просторове мислення учнів, яке відіграє важливу роль в стереометрії. Тому докладніше зупинимося саме на таких завданнях.
Так як основні геометричні тіла, що вивчаються в школі, це призми і піраміди, то завдання, наведені нижче, присвячені темам: «Призма. Піраміда. Їх перетину. Площі повної і бічних поверхонь ». Крім того, завдання розбиті на типи: завдання на доказ, на дослідження, на побудову, на обчислення.
Велика кількість завдань можна пропонувати для вирішення разом з готовим малюнком, коли один малюнок буде супроводжувати декілька завдань, в яких йде мова про одне й те ж геометричному тілі. Але готові малюнки супроводжують далеко не всім завданням, оскільки саме виготовлення зображення є важливою частиною рішення. Учитель може варіювати стратегію навчання. В одних випадках – починати з готового малюнка, а в інших демонструвати малюнок (на відкидний дошці або на екрані) тільки після того, як учні самі зробили потрібні зображення у своїх зошитах.
4.1 Завдання за темою «Призма».
Для простоти введемо позначення. Буквами а, b, c позначимо відповідно довжину, ширину і висоту прямокутного паралелепіпеда, буквою d – Довжину діагоналі підстави. Прописні літери Н, D і P відповідають висоті, довжині найбільшої діагоналі призми і периметру її заснування, а букви s, Q, S б і S n – Площ: s – підстави, Q – діагонального перерізу, S б – боковій поверхні, S n – повної поверхні призми. Кут між діагоналлю прямокутного паралелепіпеда та площиною основи позначаємо грецькою буквою γ.
1) Завдання на обчислення.
Чотирикутна призма.
Перед рішенням завдань 1 і 2 слід повторити формули для обчислення елементів куба зі стороною a:
, , , .
Завдання 3 та деякі з наступних за нею, в яких мова йде про прямокутному паралелепіпеді, зажадають використання формул:
D 2 = а 2 + b 2 + з 2, d 2 = a 2 + b 2, s = а b, Q = dс, S б = Р ∙ с.
1. Ребро куба одно а. Знайдіть: діагональ грані; діагональ куба; периметр основи; площа грані; площа діагонального перерізу; площа поверхні куба; периметр і площа перетину, що проходить через кінці трьох ребер, що виходять з однієї і тієї ж вершини. .
2. За рис. 4.1 і за даними елементам в табл. 1 знайдіть інші елементи куба.
Таблиця 1

3. За рис.4.2 і за даними елементам в табл. 2 знайдіть інші елементи прямокутного паралелепіпеда.
Таблиця 2.

а b з d D γ s Q
3 4 5
5 12
7 24 45 ˚
8 6
15 17 17

Яка ти історична постать?

Ви схожі на Альберта Ейнштейна чи на Джейн Остін? Клеопатра чи Цезар? Дізнайтеся за допомогою цієї вікторини!

Яка ти історична постать?

Ви коли-небудь запитували себе, ким ви були в попередньому житті? Якщо ви вірите в реінкарнацію, можливо, ви задавалися питанням, ким із відомих персонажів історії ви були в минулому житті. Пройдіть цей тест, щоб дізнатися!

Ця вікторина задасть вам серію запитань про вашу особистість, інтереси та вподобання; на основі ваших відповідей ми визначимо, яка історична постать найкраще відповідає тому, ким ви є сьогодні. Деякі з фігур, які можуть з’явитися, включають відомих лідерів, винахідників, художників тощо!

Коли ви відповісте на всі запитання, ми дізнаємося, яка історична постать вам найбільше схожа. Ви готові? Давайте розпочнемо!

Ким ти був у минулому житті?

Напевно, кожен хоче знати, ким він був у минулому житті. Пройдіть цей тест, щоб дізнатися! Ми задамо вам серію запитань про ваші інтереси, думки та вподобання; на основі ваших відповідей ми визначимо, яка відома історична постать найкраще відповідає тому, ким ви є сьогодні.

Деякі з фігур, які можуть з’явитися, включають Юлія Цезаря, Жанну д’Арк, Леонардо да Вінчі, Мартіна Лютера Кінга, Авраама Лінкольна, Марію Кюрі та інших!

Історичні особи

Історія повна цікавих людей. І є чимало відомих історичних діячів, які досягли великих досягнень за своє життя. Від таких винахідників, як Томас Едісон, до політичних лідерів, як Вінстон Черчилль, від художників, як Леонардо да Вінчі, до вчених, як Альберт Ейнштейн – ці постаті залишили тривалий вплив і залишилися в анналах історії.

Коли ви завершите цей тест, ми повідомимо вам, яка з цих історичних постатей вам найбільше резонує. Отже, чого ви чекаєте? Пройдіть зараз вікторину щодо історичних постатей!

Відомі історичні постаті

Історія сповнена відомих історичних постатей. Звичайно, так? Я маю на увазі, що без них ми б не мали нашого сьогодення. Отже, давайте подивимося на деяких із цих незвичайних людей і що робить їх особливими:

Клеопатра

Клеопатра була королевою єгипетського королівства Птолемеїв. Говорили, що вона красива, розумна і хитра. Піддані любили її, а вороги боялися. Вона була могутньою жінкою, якій вдалося зберегти контроль над Єгиптом, незважаючи на втручання Риму.

Єлизавета І

Єлизавета I була королевою Англії та Ірландії протягом 16 століття. Її згадують як одного з найвпливовіших монархів в історії Англії. Вона зміцнила економіку Англії та відіграла велику роль у дослідженні Північної Америки.

Марія Кюрі

Марія Кюрі була вченим, лауреатом Нобелівської премії, яка зробила новаторські відкриття в області радіоактивності. Вона також була першою жінкою, яка стала професором Паризького університету. Її дослідження призвели до прогресу в сучасній медицині, і вона вважається одним із найвпливовіших учених усіх часів.

Джейн Остін

Джейн Остін була англійською письменницею, чиї твори популярні й сьогодні. Вона написала класичні романи, такі як «Гордість і упередження», «Розсудливість і почуття», «Емма» та багато інших. Незважаючи на своє скромне виховання, вона стала одним із найулюбленіших авторів англійською мовою.

Фріда Кало

Фріда Кало була мексиканською художницею, яка прославилася своїми автопортретами. Її роботи наповнені яскравими кольорами та сміливими образами, що відображають її власний життєвий досвід і боротьбу. Її вважають однією з найвизначніших художниць 20 століття.

Роза Паркс

Роза Паркс була афроамериканською активісткою громадянських прав, яка відмовилася поступитися своїм місцем в автобусі в Алабамі в 1955 році. Цей акт опору спровокував рух, який зрештою призвів до десегрегації в Америці. Вона стала символом свободи та справедливості, визнана в усьому світі прикладом мужності та сили.

Жанна д’Арк

Жанна д’Арк — французький полководець і національний герой. Її пам’ятають тим, що вона привела французьку армію до перемоги над англійцями під час Столітньої війни. Незважаючи на те, що їй було лише 17 років, вона виявила надзвичайну мужність у бою та стала надихаючою постаттю для свободи та справедливості.

Ісус

Ісус був єврейським релігійним лідером, який був розіп’ятий римською владою близько 30 року нашої ери. Його вчення лягло в основу християнства, яке нині є однією з найбільших релігій світу. Ісуса також пам’ятають своїм співчуттям і добротою – якостями, які християни прагнуть наслідувати.

Вольфганг Амадей Моцарт

Вольфганг Амадей Моцарт був австрійським композитором, чия музика популярна й сьогодні. Він написав сотні творів, у тому числі концерти, опери та симфонії. Його твори вважаються одними з найкращих зразків класичної музики, коли-небудь написаних.

Альберт Ейнштейн

Альберт Ейнштейн був німецьким фізиком, який розробив теорію відносності, яка революціонізувала наше розуміння простору та часу. Він отримав Нобелівську премію з фізики за новаторську роботу, яка заклала основу сучасної фізики.

Юлій Цезар

Юлій Цезар був римським державним діячем, якого згадують як одного з найвпливовіших політичних і військових лідерів в історії. Він завоював величезні території, реформував уряд і встановив багато законів, які діють і сьогодні. Його прихід до влади назавжди змінив Рим і світ.

Наполеон

Наполеон Бонапарт був імператором Франції в кінці 18 століття. Він вважається одним із найвидатніших полководців в історії, і під час свого правління він підкорив більшу частину Європи. Незважаючи на невдачу, цей видатний лідер мав тривалий вплив на європейську політику.

Вінсент Ван Гог

Вінсент Ван Гог був голландським художником-постімпресіоністом, який жив у 19 столітті. Його роботи відзначаються яскравістю фарб та емоційною насиченістю. Він є одним із найвідоміших художників усіх часів, його пам’ятають завдяки таким шедеврам, як «Зоряна ніч» і «Соняшники».

Томас Едісон

Томас Едісон був американським винахідником і бізнесменом, якому приписують такі винаходи, як електрична лампочка, фонограф і кінокамера. Він мав понад 1000 патентів на свої винаходи, і його вважають однією з найвпливовіших фігур у сучасній історії.

Вінстон Черчилль

Вінстон Черчілль був британським політиком, прем’єр-міністром під час Другої світової війни. Його хвилюючі промови та керівництво допомогли згуртувати його співвітчизників проти нацистської Німеччини. Після війни він був удостоєний Нобелівської премії з літератури за свої історичні праці.

Леонардо да Вінчі

Леонардо да Вінчі був італійським художником, ученим, математиком та інженером епохи Відродження. Він найбільш відомий своїми картинами, такими як «Таємна вечеря» та «Мона Ліза», але він також був відомим винахідником. Його інноваційні розробки вплинули на покоління вчених і художників.

Мартін Лютер Кінг мол.

Мартін Лютер Кінг-молодший був американським активістом громадянських прав, який боровся за рівні права для афроамериканців шляхом ненасильницьких протестів. Він найбільше запам’ятався своєю знаменитою промовою «У мене є мрія» в 1963 році, яка допомогла активізувати підтримку законодавства про громадянські права в США.

Абрахам Лінкольн

Авраам Лінкольн був 16-м президентом Сполучених Штатів. Він провів країну через громадянську війну та скасував рабство в 1865 році. Його відданість справедливості, рівності та демократії втілює деякі з найважливіших якостей, які християни прагнуть наслідувати.

Ці історичні постаті сформували наш світ і залишили незгладимий слід в історії. Їхні історії демонструють мужність, силу, стійкість, розум і лідерство – усі якості, яким ми можемо прагнути наслідувати у своєму житті. Дізнаючись про цих людей та їхні досягнення, ми можемо отримати цінну інформацію про те, що потрібно для позитивного впливу на інших.

✌️ Наша місія – доставляти свіжий і приємний контент. Від мобільних ігор, додатків та вікторин, до ігор та вечірок. Насолоджуйтесь!
Про нас

Related Post

Як захистити абрикос від моніліозуЯк захистити абрикос від моніліозу

Зміст:1 Схема обробок саду від моніліозу навесні1.1 Обрізка перед оприскуванням саду обов’язкова!1.2 Обприскування саду і погодні умови1.3 Скільки разів обробляти дерева від моніліозу?1.4 Моя схема обробки дерев від моніліозу цього

Чому так мало живуть собакиЧому так мало живуть собаки

Зміст:1 Чому маленькі собаки живуть довше: вчені підійшли до розуміння давньої таємниці1.1 Інші матеріали про дослідження тваринного світу1.2 Вас також можуть зацікавити новини:2 Скільки живуть різні породи собак, і як

Що таке ГОК у SCPЩо таке ГОК у SCP

Зміст:1 SCP Foundation2 SCP Foundation2.1 Ясно… а ГОК что такое?2.2 Хорошо. То есть мы почти как SCP Foundation, только уничтожаем объекты вместо того, чтобы их содержать?2.3 …Выходит, это не просто