Означення і властивості п’ятикутника
П’ятикутник – це геометрична фігура, яка має п’ять сторін і п’ять кутів.
Сума внутрішніх кутів п’ятикутника дорівнює 540°. Залежно від властивостей, ми можемо виділити деякі типи п’ятикутників. У нас можуть бути правильні та неправильні п’ятикутники, а також опуклі та увігнуті п’ятикутники.
В даному параграфі ми розглянемо визначення п’ятикутників і короткий опис їх типів. Крім того, дізнаємося про деякі найважливіші властивості цих геометричних фігур та застосуємо їх для розв’язування деяких практичних задач.
Означення п’ятикутника.
П’ятикутник – це многокутник, що має п’ять сторін, п’ять вершин та п’ять кутів. Сума внутрішніх кутів довільного п’ятикутника дорівнює 540°.
Залежно від сторін, кутів і вершин існують різні типи п’ятикутників, наприклад:
Неправильні та правильні п’ятикутники.
Якщо п’ятикутник правильний, то всі його сторони мають однакову довжину і всі п’ять кутів мають однакову міру. Якщо у п’ятикутника немає сторін однакової довжини або кутів однакової міри, то це неправильний п’ятикутник.
Опуклі і увігнуті п’ятикутники.
Якщо всі вершини п’ятикутника спрямовані назовні, а внутрішні кути менші за 180°, то п’ятикутник опуклий. З іншого боку, якщо п’ятикутник має принаймні одну вершину, спрямовану всередину або будь-який із його внутрішніх кутів перевищує 180°, то п’ятикутник увігнутий.
Основні властивості п’ятикутника.
Ось деякі з найважливіших властивостей п’ятикутника:
- сума всіх внутрішніх кутів п’ятикутника дорівнює 540°;
- правильний п’ятикутник має всі п’ять сторін однакової довжини;
- правильний п’ятикутник має всі п’ять кутів однакової міри;
- у правильному п’ятикутнику кожен внутрішній кут дорівнює 108°, а зовнішній – 72°.
Приклади задач та практичниз запитань на тему «Означення і властивості п’ятикутника».
Приклад 1: як називається 5-сторонній багатокутник?
П’ятисторонній багатокутник називається п’ятикутником. Якщо всі п’ять сторін рівні, ми називаємо його правильним п’ятикутником, а якщо будь-які дві сторони мають різні розміри, ми називаємо його неправильним п’ятикутником.
Приклад 2: чи є п’ятикутник паралелограмом?
Ні, п’ятикутник – це не паралелограм. Паралелограм має лише чотири сторони.
Приклад 3: у чому подібність між чотирикутником і п’ятикутником?
Чотирикутник і п’ятикутник – замкнуті многокутники, сума зовнішніх кутів яких дорівнює 360°.
Приклад 4: які три властивості правильного п’ятикутника?
Правильний п’ятикутник задовільняє наступним властивостям:
- усі п’ять сторін мають бути конгруентними (однакової довжини);
- кожен із п’яти внутрішніх кутів має дорівнювати 108°;
- кожен із п’яти зовнішніх кутів повинен дорівнювати 72°.
Приклад 5: cкільки прямих кутів може мати п’ятикутник?
П’ятикутник може мати не більше трьох прямих кутів. Якщо кількість прямих кутів дорівнює чотирьом, то, щоб сума всіх внутрішніх кутів становила 540°, останній кут повинен дорівнювати 180°, що неможливо.
Приклад 6: три кути п’ятикутника дорівнюють 80°, 70° і 100°. Чому дорівнюють інші два кути 145 і 145 чи 120 і 180 градусів?
Як відомо, сума всіх п’яти внутрішніх кутів п’ятикутника дорівнює 540°. Сума трьох відомих кутів становить 80°+70°+100°=250°. Тоді, сума інших двох кутів рівна 540°–250°=290°.
Далі, виходячи з того, що 145°+145°=290°, а 120°+180°=300°, приходимо до висновку, що інші два кути п’ятикутника дорівнюють 145°.
Приклад 7: для зображеного нижче п’ятикутника ABCDE знайдіть градусну міру кута E.
Отже, нехай х – градусна міра невідомого кута E. Тоді, враховуючи що, один із кутів п’ятикутника є прямим, тобто 90°, за властивістю суми кутів п’ятикутника, матимемо:
Таким чином, кут E дорівнює 104°.
Дивіться також:
Хочете дізнатися більше про п’ятикутники? Перегляньте ці сторінки:
Пентагон: історія будівництва та цікаві факти 3
Будівництво будівлі штаб-квартири Міністерства оборони США, що одержала назву Пентагон (в перекладі з грецької – “п’ятикутник”), в Арлінгтоні було завершено 15 січня 1943 року.
Величезна будівля покликана було вміщати понад 30 000 працівників, які працювали над тим, щоб Америка перемогла у Другій світовій війні. У Пентагоні більше 17 миль коридорів, і він досі залишається найбільшою офісною будівлею у світі і символом військової могутності США.
Коли під будівництво виділяли ділянку, спочатку планувалося, що він буде розташовуватися на схід від Арлінгтонського кладовища. У той час там перебувала експериментальна ферма Міністерства сільського господарства, обмежена під’їзними дорогами. Ці дороги були “гранями” не надто рівного п’ятикутника, тому і проект будівлі вийшов такої ж форми.
Трохи пізніше було вирішено, що не варто все-таки будувати Пентагон так близько від кладовища, і під будівлю було виділено інше місце. Але оскільки часу переробляти макет і план будівництва не було, Пентагон так і залишився пятиугольником, хіба що трохи більш симетричним.
Будівля вийшла такою присадкуватою тому, що за проектом вона не могла бути вище п’яти поверхів, щоб не порушувати мальовничих видів, а по-друге, в той момент через війну в країні був гострий дефіцит сталі. Замість сталі при будівництві будівлі використовувався залізобетон, а велика частина наповнювача для цього бетону була взята з території навколо самого Пентагону, в тому числі з річки Потомак.
Уявити собі, наскільки великий Пентагон, досить важко: Капітолій, наприклад, може поміститися без особливих труднощів в один з п’яти його кутів. Коли Дуайт Ейзенхауер приїхав в Пентагон після Другої світової війни, він просто заблукав і був змушений просити стенографістів показати йому дорогу назад у свій кабінет. Втім, незважаючи на такі розміри, з одного кута будинку до іншого можна дійти менше ніж за десять хвилин, тільки для цього потрібно знати короткі шляхи – наприклад, через Ground Zero, внутрішній двір в центрі комплексу. Форма Пентагону дозволяє скоротити дистанції, які доводиться проходити співробітникам, на 30-50% порівняно з квадратними або прямокутними будинками.
Довжина кожної з п’яти сторін Пентагону дорівнює 281 м, периметр – близько 1405 м, сумарна довжина коридорів – 28 км. Будівля має п’ять надземних і два підземних поверхи, висота надземної частини – 23,5 м. В будівлі налічується 7754 вікна.